6.3. Алгоритм решения транспортной задачи (метод северо-западного угла)

Рассмотрим алгоритм решения транспортной задачи на конкретном примере.

Задача 6. Из четырех складов, необходимо перевести картофель в три магазина, расположенных в различных пунктах. В первом складе хранится 8000 т картофеля, во втором – 5000 т, в третьем – 10000 т, в четвертом – 7000 т. Потребность первого магазина в картофеле составляет 12000 т, второго – 9000 т, третьего – 9000 т. Стоимости перевозок одной тонны картофеля со складов в магазины представлены в таблице 19.

Таблица 19

Стоимости перевозок одной тонны картофеля (ден. Ед.)

Номер склада	Номер магазина
	1	2	3
1	40	70	20
2	10	20	30
3	30	40	10
4	30	20	50

Требуется составить план перевозок, минизирующий затраты на транспортировку картофеля, при этом весь груз необходимо вывести, а потребности магазинов удовлетворить.

Решение

1. Проверка типа задачи (открытая или закрытая)

Находим количество запасов картофеля на складах и количество картофеля, необходимого магазинам, и сравниваем полученные суммы:

Количество картофеля, хранимого на складах, составляет 30000 тонн, т.к.

8000 + 5000 + 10000 + 7000 = 30000 (т).

Количество картофеля, необходимого магазинам:

12000 + 9000 + 9000 = 30000 (т).

В данном случае суммы равны, поэтому данная задача закрытого типа, т.е. весь картофель можно вывести со складов и поставить в необходимом количестве во все магазины.

2. Составление экономико-математической модели задачи

Обозначим: x_ij – количество картофеля, перевозимого из i-го склада (i = 1, 2,…, 4) в j-ый магазин (j = 1, 2, …, 3).

Экономико-математическая модель задачи в общей форме:

Найти значения переменных x_ij, которое бы обеспечивало минимальное значение целевой функции Z_min = 40х₁₁ + 70х₁₂ + 20х₁₃ + 10х₂₁ + 20х₂₂ + 30х₂₃ +30х₃₁ + 40х₃₂ + 10х₃₃ + 30х₄₁ + 20х₄₂ + 50х₄₃, при условиях неотрицательности переменных x_ij (x_ij ≥ 0) и ограничениях:

Ограничения по поставщикам – ограничение по количеству картофеля в первом складе, т – ограничение по количеству картофеля во втором складе, т – ограничение по количеству картофеля в третьем складе, т – ограничение по количеству картофеля в четвертом складе, т Ограничения по потребителям – ограничение по количеству картофеля в первом магазине, т – ограничение по количеству картофеля во втором магазине, т – ограничение по количеству картофеля в третьем магазине, т

Данные задачи наглядно можно представить в таблице 20.

Таблица 20

Матрица транспортной задачи (ден. Ед.)

Номер склада (Ai)	Номер магазина (Bj)						Количество груза на складах (ai)
	1		2		3
1	40		70		20		8000
		x11		x12		x13
Стоимость перевозки со склада в магазин (сij) 2	10		20		30		5000
		x21		x22		x23
3	30		40		10		10000
		x31		x32		x33
4	30		20		50		7000
		x41		x42		x43
Количество груза в магазинах (bj)	12000		9000		9000		Количество перевозимого груза со склада (xij) в магазин