6.2. Постановка и математическая формулировка транспортной задачи
Транспортные задачи могут решаться на минимум и на максимум. В качестве критерия оптимальности решения транспортной задачи могут использоваться следующие показатели экономической эффективности грузоперевозок: кратчайшее расстояние; минимум эксплуатационных затрат; минимум времени; минимум транспортных затрат по тарифной сетке; минимум приведенных затрат и т.д.
Постановка задачи
Имеется m пунктов отправления поставщиков A1, A2, …, Am, в которых сосредоточено определенное количество однородного груза a1, a2, …, am. Имеется n пунктов назначения потребителей B1, В2, …, Вn, потребность которых в этом грузе составляет b1, b2, …, bn. Известны затраты cij на перевозку груза xij (xij ≥ 0) из i-гo пункта производства (i = l, 2, .., m) в каждый j-пункт потребления (j = l, 2, .., n). Требуется составить такой план грузоперевозок X {хij}, при котором общие транспортные расходы были бы минимальными. При этом весь груз из пунктов отправления должен быть вывезен, а потребности каждого потребителя должны быть удовлетворены полностью.
В структурном виде модель транспортной задачи выглядит таким образом:
Найти минимальное значение целевой функции
,
при ограничениях
i
= 1, 2, …, m),
(j = 1, 2, …, n),
где cij – затраты на перевозку единицы груза из i-го пункта отправления в j-ый пункт назначения;
xij – количество груза, перевозимого из i-го пункта отправления в j-ый пункт назначения (xij ≥ 0);
аi – количество груза в i-м пункте отправления;
bj – количество груза в j-м пункте назначения.
Возможный два варианта транспортных задач: закрытая и открытая.
Если
,
то модель задачи закрытая
(сбалансированная), то есть потребности
потребителей совпадают с количеством
товара у поставщиков.
Если
,
то модель задачи открытая
(несбалансированная)
В зависимости от типа задачи при ее решении вводится фиктивный поставщик или потребитель, затраты на перевозку приравниваются условно к 0. Условия задачи можно представить в табличной форме (таблица 18).
Таблица 18
Матрица транспортной задачи
Пункты отправления (Аi) |
Пункты назначения (Bj) |
Запасы в пунктах отправления (аi) |
|||||||||||
В1 |
В2 |
… |
Вn |
||||||||||
А1 |
c11 |
|
c12 |
|
… |
c1n |
|
а1 |
|||||
|
x11 |
|
x12 |
|
x1n |
||||||||
А1 |
c21 |
|
c22 |
|
… |
c2n |
|
а2 |
|||||
x21 |
|
x22 |
|
x2n |
|||||||||
… |
… |
… |
… |
… |
… |
||||||||
Аm |
cm1 |
|
cm2 |
|
… |
cmn |
|
аm |
|||||
|
xm1 |
|
xm2 |
|
xmn |
||||||||
Потребность в грузах в пунктах назначения (bj) |
b1 |
b2 |
… |
bn |
|
||||||||
При моделировании транспортной задачи в матрице необходимо, чтобы все ограничения по строкам и по столбцам, а также значения неизвестных имели одинаковую размерность (т, т/км, га и т.д.).