7. Построение третьей и последующих симплексных таблиц

Следующие симплексные таблицы создаются по шагам построения второй симплексной таблицы.

Шаг 1. Найдем разрешающий элемент А во второй симплексной таблице: определяем разрешающий столбец по наименьшему отрицательному коэффициенту целевой функции (-150); с помощью симплексных отношений находим разрешающую строку (S₁); на пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца находим разрешающий элемент А = 1 (таблица 9).

Таблица 9

Вторая симплексная таблица с разрешающим элементом

Базис	Свободные члены, bi	Свободные переменные		Симплексные отношения
		-х1	- S3
S1	2000	1	-1	2000
S2	22500	0,5	-4,5	45000
х2	5000	0	1	–
Z	4000000	-150	800	–

Шаг 2. Вычислим коэффициенты третьей симплексной таблицы (таблица 10).

Таблица 10

Третья симплексная таблица

Базис	Свободные члены, bi	Свободные переменные
		-S1	- S3
х1	2000	1	-1
S2	21500	-0,5	-4
х2	5000	0	1
Z	4300000	150	650

Шаг 3. Выписываем решение из третьей симплексной таблицы и определяем его оптимальность.

S₁ = 0, га – недоиспользовано пашни.

S₃ = 0, га – под картофель занято 5000 га.

х₁ = 2000, га – площадь под ячмень.

S₂ = 21500, чел.-дней – недоиспользовано трудовых ресурсов.

х₂ = 5000, га – площадь под картофель.

Z = 4300000, ден. ед. – максимум валовой продукции.

Все коэффициенты целевой строки Z положительны, следовательно, решение оптимальное.

Ответ: Оптимальное сочетание посевов следующее: 2000 га – площадь ячменя, 5000 га – площадь картофеля. Данное сочетание посевов позволит получить максимум прибыли – 4300000 ден. ед., при этом будет недоиспользовано 21500 чел.-дней трудовых ресурсов.

Вопросы

1. Каковы этапы решения задач симплексным методом с естественным базисом?

2. В каком случае вводятся дополнительные переменные и в чем их экономический смысл?

3. Каков порядок заполнения первой симплексной таблицы (исходного плана)?

4. Назовите признаки оптимальности при решении задач линейного программирования симплексным методом.

5. Как осуществляется выбор разрешающего столбца, разрешающей строки и разрешающего элемента при решении задач линейного программирования симплексным методом?

6. Сущность правила прямоугольника.

7. Каковы требования при заполнении второй симплексной таблицы?

5.3. Алгоритм решения задач симплексным методом с искусственным базисом

При решении задач симплексным методом форма записи задачи должна быть канонической, а базис неотрицательным. В некоторых случаях такие преобразования могут быть сложными. Поэтому применяют симплексный метод решения с искусственным базисом.

Искусственные переменные вводятся только для математической формализации задачи, поэтому схема вычислений должна быть такой, чтобы искусственные переменные не могли попасть в окончательное решение в числе базисных переменных. Для этого исходную задачу заменяют вспомогательной по правилам:

1. Искусственную базисную переменную добавляют в каждое ограничение, не содержащее базисную переменную, т.е. в котором знак ограничения «≥».

9. Условие неотрицательности распространяется на все переменные, в том числе и искусственные.

10. При решении задачи на максимум: из целевой функции вычитают сумму произведений искусственных переменных и их коэффициентов. При решении задачи на минимум: в целевую функцию добавляют сумму произведений искусственных переменных и их коэффициентов.

Рассмотрим алгоритм решения задачи симплексным методом с искусственным базисом на примере.

Задача 4. Найти такие значения неизвестных х₁, х₂, которые бы обеспечивали экстремальное значение критерия оптимальности, выраженного линейной функцией: Z = c₁x₁ + c₂x₂  extr, при соблюдении ограничений

и условий неотрицательности переменных: x₁ 0 и x₂ 0.