2. Приведение модели к канонической форме записи задачи, определение основных и дополнительных переменных

Систему ограничений приведем к каноническому виду путем введения дополнительных переменных.

Экономико-математическая модель задачи в канонической форме: Найти значение неизвестных, которое бы обеспечивало максимальное значение целевой функции Z_max при соблюдении ограничений и условий неотрицательности переменных:

1) целевая функция: Z_max = 150х₁ + 800х₂ (ден. ед.);

2) система ограничений в каноническом виде:

,

где S₁ – количество неиспользованной пашни, га;

S₂ – количество недоиспользованных трудовых ресурсов, чел.-дней;

S₃ – количество недоиспользованной пашни под картофель, га.

3) условие неотрицательности: x₁≥ 0, x₂ ≥ 0 и S₁ ≥ 0, S₂ ≥ 0, S₃ ≥ 0.

Переменные х₁, х₂ называют основными, S₁, S₂, S₃ – дополнительными.

Дополнительные переменные S₁, S₂, S₃ можно вывести в целевую функцию с коэффициентами, равными 0, тогда Z_max примет вид:

Z_max = 150х₁ + 800х₂ + 0S₁ + 0S₂ + 0S₃.

3. Составление базиса

Выразим в системе ограничений дополнительные переменные:

Приведем целевую функцию к аналогичному виду:

Z = 0 – (-150х₁ – 800х₂).

В данной записи переменные S₁, S₂, S₃ называют базисными (они составляют базис), а остальные – свободными переменными (х₁ и х₂).

4. Построение первой симплексной таблицы

Симплексная таблица служит средством перебора допустимых решений и образуется из матрицы коэффициентов системы ограничений, приведенных к каноническому виду. Последовательное ее преобразование по симплексному алгоритму позволяет за ограниченное число шагов (итераций) получить оптимальное решение, обеспечивающее экстремум значений целевой функции. Количество симплексных таблиц в задачах может быть различным.

Строим первую симплексную таблицу и заполняем ее: в ячейках таблицы указываем коэффициенты при свободных переменных и свободные члены из системы ограничений с базисом и целевой функции (таблица 4).

Таблица 4

Первая симплексная таблица (сокращенная)

Базис	Свободные члены, bi	Свободные переменные
		-х1	-х2
S1	7000	1	1
S2	45000	0,5	4,5
S3	5000	0	1
Z	0	-150	-800

Задачи линейного программирования симплексным методом с естественным и искусственным базисом можно решать как в полных (таблица 5), так и в сокращенных симплексных таблицах (таблица 4).

Таблица 5

Первая симплексная таблица (полная)

Базис	Свободные члены, bi	Свободные переменные
		-х1	-х2	-S1	- S2	- S3
S1	7000	1	1	1	0	0
S2	45000	0,5	4,5	0	1	0
S3	5000	0	1	0	0	1
Z	0	-150	-800	0	0	0

5. Проверка оптимальности решения

Решение из симплексной таблицы выписывают таким образом: свободные переменные приравниваются к 0, а базисные переменные – к соответствующим коэффициентам столбца свободных членов.

В данном случае, свободные переменные – х₁ и х₂.

х₁ = 0, га – ячмень не возделывается.

х₂ = 0, га – картофель не возделывается.

S₁ = 7000, га – недоиспользовано пашни.

S₂ = 45000, чел.-дней – недоиспользовано трудовых ресурсов.

S₃ = 5000, га – картофель не возделывается.

Z = 0, ден. ед. – валовая продукция в денежном выражении.

Признак оптимальности на максимум: при решении задач на максимум с естественным базисом решение будет оптимальным, если коэффициенты целевой строки Z неотрицательны.

Признак оптимальности на минимум: коэффициенты целевой строки Z должны быть отрицательными.

В данном случае решение неоптимальное, так как в строке Z есть отрицательные значения -150 и -800 (таблица 4).