Стандартная форма записи задачи линейного программирования

Приведем систему ограничений к стандартной форме. Для этого знак последнего неравенства «≥» (отличный от знаков остальных неравенств) необходимо заменить на знак «≤». Поэтому левую и правую часть последнего неравенства (15х₁ ≥ 5000) умножим на -1 и изменим знак неравенства.

Экономико-математическая модель задачи в стандартной форме:

Найти значения неизвестных, которое бы обеспечивало максимальное значение целевой функции Z_max при соблюдении ограничений и условий неотрицательности переменных:

1) целевая функция: Z_max = 400х₁ + 100х₂;

2) система ограничений в стандартной форме:

;

3) условия неотрицательности: х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0.

Вопросы

1. Какие формы записи задач линейного программирования существуют?

2. В чем отличие форм записи задачи линейного программирования?

3. Что такое эквивалентность форм записи задачи линейного программирования?

4. Приведите примеры форм записи задач линейного программирования.

Рекомендуемые источники к главе 3

4, 7, 15, 22

4. Геометрическое представление задачи линейного программирования. Графический метод

4.1. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования

Методы решения экономико-математических задач можно разделить на две группы:

• универсальные, которые наиболее распространены, среди них широко известен симплексный метод;

• специальные, к ним относятся распределительный метод, транспортная задача, графический метод.

Графический метод основан на геометрической интерпретации задач линейного программирования в простейших случаях. Этот способ применяется при решении задач небольшой размерности, когда число переменных не превышает трех (рис. 1).

Рис. 1 – Пересечение полуплоскостей

Этот метод позволяет решать задачи двумерного пространства и только некоторые задачи трехмерного пространства, т.к. трудно построить многогранник решений, который образуется в результате пересечения полупространств. Задачу пространства размерности больше трех изобразить графически достаточно сложно.

Геометрическую интерпретацию задачи линейного программирования рассмотрим на примере задачи с двумя переменными. Каждое из неравенств задачи линейного программирования определяет на координатной плоскости некоторую полуплоскость (рис. 2), а система неравенств в целом – пересечение соответствующих полуплоскостей (рис. 1).

Рис. 2 – Граничная прямая l₁

и полуплоскость – решение неравенства a₁₁x₁ + a₁₂x₂ ≥ b₁

Каждое неравенство в системе ограничений делит плоскость на полуплоскости, на одной из которых все точки ему удовлетворяют, а на другой не удовлетворяют. Прямая, расположенная между этими полуплоскостями, называется граничной прямой (рис. 2). Чтобы построить граничную прямую, необходимо определить координаты двух точек этой прямой. Для простоты вычисления координат точек находят координаты пересечения прямой с осями координат. Например, на рисунке 2, чтобы построить граничную прямую l₁, определены координаты точек пересечения с осями координат A (0; ) и B ( ; 0).

Множество точек пересечения решений неравенств является областью допустимых решений (ОДР) (рис. 1).

Каждая из точек области допустимых решений является допустимым вариантом плана. Например, произвольно взятая точка F удовлетворяет всем условиям задачи. Если подставить координаты этой точки в систему ограничений, то можно увидеть, что вариант плана, соответствующий точке F, является допустимым, но не оптимальным, поскольку все ресурсы будут недоиспользованы.

Область допустимых решений представляет собой выпуклое множество, т.е. обладает свойством: если две точки P и G принадлежат этому множеству, то и весь отрезок, соединяющий точки P и G принадлежит ему (рис. 3).

Область допустимых решений графически может быть представлена выпуклым многоугольником, неограниченной выпуклой многоугольной областью, отрезком, лучом, одной точкой (рис. 4-7). В случае несовместности системы ограничений задачи область допустимых решений является пустым множеством (рис. 8) [15].

Рис. 3 ABCDK – выпуклый многоугольник.

Рис. 4 Область допустимых решений закрытая. Оптимальное решение достигается на отрезке BC

Рис. 5 Область допустимых решений открытая. Оптимальное решение достигается в точке B'.

Рис. 6 Область допустимых решений открытая. Оптимальное решение достигается на отрезке B'C'.

Рис. 7 Область допустимых решений вырождается в точку. Оптимальное решение достигается в точке А"

Рис. 8 Область допустимых решений – пустое множество. Оптимальное решение отсутствует

В теории линейного программирования доказано, что экстремальное значение целевой функции (если оно существует) обязательно достигается на границе выпуклого многоугольника или выпуклой многоугольной области с конечным числом угловых точек. Такой многоугольник называется симплексом. Метод заключается в направленном переборе вершин симплекса до получения оптимального плана. Следовательно, оптимальный вариант плана можно найти, последовательно перебирая варианты сочетаний х₁ и х₂ в вершинах многоугольника, однако это достаточно трудоемко.

Чтобы найти экстремальное значение в области допустимых решений необходимо построить вектор-градиент и линию уровня, а затем переместить линию уровня вдоль градиента до крайней точки многоугольника решений. Таким образом будут определены прямые, пересечение которых соответствует экстремальному значению целевой функции. Координаты точки пересечения этих прямых являются искомыми величинами, т.е. решением задачи. Вычисление координат точки экстремума происходит посредством решения системы уравнений для тех прямых, которые пересекаются в этой точке.

Градиентом функции = gradZ= называется вектор частных производных этой функции. Градиент указывает направление наиболее быстрого возрастания функции и направлен перпендикулярно линиям уровня (рис. 9).

Для функции Z(x) = c₁x₁ + c₂x₂ начало вектора-градиента находится в точке с координатами (0;0), конец – в точке (c₁; c₂) (рис. 9).

Рис. 9 Градиент функции Z(x), линия уровня Z(x) = 0

Рис. 10 Линии уровня функции Z(x)

Целевая функция Z(x) = c₁x₁ + c₂x₂ при фиксированном значении Z(x) равном L определяет на плоскости прямую линию. Изменяя значения L, получим семейство параллельных прямых, называемых линиями уровня (рис. 10).

Прямые (линии уровня) параллельны, так как изменение значения L влечет изменение длин отрезков, отсекаемых линией уровня на осях, а угловой коэффициент α прямой останется постоянным. Поэтому для решения будет достаточно построить одну из линий уровня, произвольно выбрав значение L. Линии уровня характеризуются тем, что во всех точках одной линии уровня значения функции Z(x) равны между собой.

Линию уровня функции Z(х) можно построить по двум точкам, приравняв целевую функцию к любому числу или проведя перпендикуляр к вектору-градиенту в любой его точке. В данном случае первую линию уровня проведем через точку О (0;0), перпендикулярно вектору-градиенту (рис. 9, 11).

Геометрически отыскание оптимального решения – это нахождение такой точки области допустимых решений, через которую проходит линия уровня целевой функции Z_max (Z_min), соответствующая наибольшему (наименьшему) значению функции Z(x). Оптимальное решение (если оно существует) находится в крайней точке многоугольника области допустимых решений, через которую пройдет целевая прямая, или на всей его стороне (рис. 4-7, 11).

Рис. 11 – Оптимальное решение в точке А

При решении задач на максимум для определения точки экстремума линия уровня перемещается по направлению вектора-градиента до тех пор, пока она не достигнет последней точки выхода из области допустимых решений.

При решении задач на минимум линию уровня перемещают в направлении противоположном вектору-градиенту до тех пор, пока она не достигнет последней точки выхода из области допустимых решений.