Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ІЗ ЛІНІЙНА алгебра.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
1.1 Mб
Скачать
  1. Розв’язати матричне рівняння, зробити перевірку.

.

  1. Розв’язати систему лінійних рівнянь a) за формулами Крамера;

б) матричним методом.

  1. Визначити, при яких значеннях а система рівнянь a) має єдиний розв’язок (визначена); б) не має розв’язків (несумісна).

  1. Знайти ранг матриці .

Варіант 17

  1. Користуючись властивостями визначників, спочатку спростити, а потім обчислити визначник

.

Вказівка. Винести а за знак визначника; Iст.- IIIст. ; IIст.-IIIст. ;винести та за знак визначника.

  1. Перетворивши в нуль всі,крім одного, елементи стовпця чи рядка, обчислити визначник

.

  1. Довести, що матриця X= є розв’язком рівняння X2-X-7E=О, де E–одинична матриця 2-го порядку.

  1. Знайти матрицю F=AB-BA, якщо

A= ; B= .

Яку матрицю C потрібно відняти від матриці FТ, щоб дістати одиничну матрицю?

  1. Розв’язати матричне рівняння AXB=C, якщо

A= , B= , C= .

Зробити перевірку.

  1. Розв’язати систему лінійних рівнянь а) за формулами Крамера;

б) матричним методом.

  1. Дослідити на сумісність систему використовуючи метод Гаусса:

.

  1. Знайти ранг матриці .

Варіант 18

  1. Користуючись властивостями визначників, довести тотожність (визначник не розкривати):

Вказівка. Подати визначник у вигляді суми двох визначників. Перший із них дорівнює 0, другий привести до трикутного вигляду. Такий визначник дорівнює добутку його діагональних елементів.

  1. Обчислити визначник

.

  1. Знайти значення матричного многочлена

,

якщо Е – одинична матриця 2-го порядку, .

  1. Знайти добуток матриць АВС, якщо

; ; .

Яку матрицю D потрібно додати до матриці АВС, щоб дістати одиничну матрицю? Чому дорівнює визначник матриці АВС.

  1. Розв’язати матричне рівняння АХ=В, якщо

; .

Зробити перевірку.

  1. Розв’язати систему лінійних рівнянь a) за формулами Крамера;

б) матричним методом.

  1. Дослідити на сумісність систему використовуючи метод Гаусса:

  1. Знайти ранг матриці .

Варіант 19

  1. Обчислити визначник

.

Вказівка. 1-ий спосіб. Зобразити визначник так:

.

Далі скористатися лінійною властивістю визначників.

2-ий спосіб. Іс–ІІс; ІІс–ІІІс.

  1. Обчислити визначник накопиченням нулів у рядку чи у стовпці.

.

  1. Задана матриця

.

Знайти суму матриць А2+А+Е, де Е – одинична матриця 3-го порядку.

  1. Довести, що матриця А – ортогональна, якщо

.

Зауваження. Квадратна матриця А називається ортогональною, якщо виконується умова ААТ, або АТ=А–1.

  1. Знайти невідому матрицю Х із рівняння

.

Зробити перевірку.

  1. Розв’язати систему лінійних рівнянь а) за допомогою формул Крамера;

б) матричним методом.

  1. Дослідити на сумісність систему використовуючи метод Гаусса:

.

  1. Знайти ранг матриці .

Варіант 20

  1. Користуючись властивостями визначників, обчислити визначник

.

  1. Обчислити визначник, розклавши його за елементами 1-го рядка.

  1. Знайти значення многочлена , якщо одинична матриця 3-го порядку,

.

  1. Знайти добуток матриць , якщо

; ; .

Переконатися, що .

  1. Знайти невідому матрицю із рівняння

= .

Зробити перевірку.

  1. Розв’язати систему лінійних рівнянь a) за формулами Крамера;

б) матричним методом.

  1. Дослідити на сумісність систему використовуючи метод Гаусса:

.

  1. Знайти ранг матриці .

Варіант 21

  1. Розв’язати рівняння, зробити перевірку.

.

  1. Обчислити визначник, розклавши його за елементами 2-го стовпця.

  1. Знайти значення многочлена від матриці f(A)=3A2-2A+5E, якщо E-одинична матриця 3-го порядку,

A= .

  1. Нехай

A= ; В= .

Знайти АВ; ВА та ВВТ. Коли операція множення матриць неможлива, пояснити чому.

  1. Розв’язати матричне рівняння YA=B, якщо

А= ; B= .

Зробити перевірку.

  1. Розв’язати систему лінійних рівнянь

а)користуючись формулами Крамера;

б) матричним методом.

  1. Розв’язати однорідну систему рівнянь:

.

  1. Знайти ранг матриці .

Варіант 22

  1. Користуючись властивостями визначників, обчислити визначник

.

Вказівка. Іс.–ІІс.; ІІс.–ІІІс..

  1. Обчислити визначник, розклавши його за елементами того рядка, який містить найбільшу кількість нулів

.

  1. Знайти , якщо Е – одинична матриця 2-го порядку,

.

  1. Задано матриці

; .

а). Знайти добуток матриць АВ.

б). Обчислити визначник матриці АВ.

  1. Розв’язати матричне рівняння АХ=В, якщо

; .

Зробити перевірку.

  1. Розв’язати систему лінійних рівнянь a) за формулами Крамера;

б) матричним методом.

  1. Визначити, при яких значеннях а та b система рівнянь a) має єдиний розв’язок (визначена); б) не має розв’язків (несумісна).

  1. Знайти ранг матриці .

Варіант 23

  1. Користуючись властивостями визначників, спочатку спростити, а потім обчислити визначник

.

  1. Обчислити визначник

.

  1. Знайти , якщо Е – одинична матриця 3-го порядку,

.

  1. Нехай

; .

а) Знайти АВ; ВА; ААТ.

Якщо операція множення матриць у деяких випадках неможлива, пояснити чому.

б) Обчислити визначник матриці ААТ.

  1. Розв’язати матричне рівняння відносно квадратної матриці 3-го порядку АХ=В, якщо

; .

Зробити перевірку.

  1. Розв’язати систему лінійних рівнянь a) за формулами Крамера;

б) матричним методом.

  1. Розв’язати систему рівнянь методом Гаусса:

.

  1. Знайти ранг матриці .

Варіант 24

  1. Користуючись властивостями визначників, довести тотожність

.

Вказівка. 1-ий спосіб. У визначнику, що стоїть ліворуч, 1-ий рядок помножити на а; 2-ий – на b; 3-ій – на с. Весь визначник помножити на (припускаємо, що а, b та с ≠0).

2-ий спосіб. До 3-го стовпця визначника, що стоїть ліворуч, додати 2-ий стовпець, попередньо помноживши його на , і відняти 1-ий стовпець, помножений на

  1. Розв’язати рівняння, ліва частина якого записана у вигляді визначника:

.

Вказівка. ІІр-Ір; ІІІр-Ір. Із 2-го та 3-го рядків винести за знак визначника спільний множник t та 1+t відповідно.

  1. Знайти , якщо E – одинична матриця 3-го порядку,

.

  1. Знайти добутки AB та BA, якщо

A= , B= .

Яку матрицю C потрібно додати до матриці BA, щоб дістати одиничну матрицю?

  1. Розв’язати матричне рівняння відносно квадратної матриці X 3-го порядку AX=B, якщо

A= ; B= .

Зробити перевірку.

  1. Розв’язати систему лінійних рівнянь а) за допомогою формул Крамера;

б) матричним методом.