Розділ 1 Тригонометричні функції числового аргументу

§1 Радіанна міра вимірювання кутів

Кут можна розглядати як фігуру, утворену обертанням променя навколо своєї початкової точки О. Промінь можна обертати навколо своєї початкової точки у двох напрямах: за годинниковою стрілкою і проти годинникової стрілки. Напрям обертання проти годинникової стрілки умовно називають додатним, а за годинниковою стрілкою – від’ємним. Відповідно до цього кути і дуги, отримані обертанням променя проти годинникової стрілки, вважаються додатними, а кути і дуги, отримані обертанням променя за годинниковою стрілкою, вважаються від’ємними.

Кути вимірюються в градусах і радіанах. Кут у 1 градус – це кут, що опише промінь, зробивши частину повного оберту навколо своєї початкової точки проти годинникової стрілки (позначається ). частина градуса називається хвилиною (позначається ). частина хвилини називається секундою (позначається ).

Кут в 1 радіан – це центральний кут, який спирається на таку дугу кола, довжина якої дорівнює радіусу цього кола.

рад; рад = ;

рад; рад;

1. Виразіть у радіанах величини кутів: .

2. Виразіть у градусах величини кутів: .

3. Колесо машини за 0,5хв. повертається на кут . Знайдіть його кутову швидкість у радіанах за секунду.

4. Зубчате колесо повертається за 0,2хв. на кут . Знайдіть його кутову швидкість у радіанах за секунду.

5. Шліфувальний круг повертається за 0,1хв. на кут . Знайдіть його кутову швидкість у радіанах за секунду.

6. Зубчате колесо має 100 зубців. Знайдіть в радіанах кут повороту колеса, якщо воно повернулося на 40 зубців.

7. Зубчате колесо має 90 зубців. Знайдіть в радіанах кут повороту колеса, якщо воно повернулося на 50 зубців.

8. Зубчате колесо має 50 зубців. Знайдіть в радіанах кут повороту колеса, якщо воно повернулося на 35 зубців.

до змісту

§2 Тригонометричні функції числового аргументу

Тригонометричним колом називається коло центр якого знаходиться у початку координат, а радіус дорівнює одиниці. Осі абсцис (Ох) і ординат (Оу) ділять одиничне коло на чотири чверті(І – IV), або чотири квадранта. Відзначимо на осі Ох справа від початку координат точку , яка лежить на тригонометричному колі: . Радіус називається початковим радіусом. При повороті початкового радіуса біля центра О на кут точка переходить в деяку точку .

рис.1

Синусом кута називається відношення ординати точки до радіусу, а косинусом кута називається відношення абсциси точки до радіусу. Оскільки , то , а .

Оскільки координати будь-якої точки одиничного кола задовольняють рівнянню кола, то . Співвідношення називається основною тригонометричною тотожністю.

Тангенсом кута називається відношення ординати точки до її абсциси: .

Котангенсом кута називається відношення абсциси точки до її ординати: .

Секансом кута називається величина, обернена , тобто .

Косекансом кута називається величина, обернена , тобто .

Знаки тригонометричних функцій , , , у різних чвертях подано у табл. 1

Таблиця 1

	І	ІІ	ІІІ	ІV
	+	+	-	-
	+	-	-	+
	+	-	+	-
	+	-	+	-

Зобразимо таблицю значень тригонометричних функцій деяких кутів, які найбільш часто використовуються на практиці (табл. 2).

Таблиця 2

	0
	0	30	45	60	90	180	270	360
	0				1	0	-1	0
	1				0	-1	0	1
	0		1			0		0
			1		0		0

9. На тригонометричному колі побудуйте кут повороту, що дорівнює: .

10. Визначить, кутом якої чверті є кут , якщо кут дорівнює: .

11. Серед кутів повороту знайдіть такі, при яких початковий радіус-вектор займе таке саме положення, як і при повороті на кут:

1)

2) .

12. Позначте на одиничному колі точки, які відповідають числам:

1) , де ;

2) , де .

13. Одиничний радіус-вектор при поверненні на кут має координати . Знайдіть .

14. Одиничний радіус-вектор при поверненні на кут має координати . Знайдіть .

15. Обчисліть:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) .

16. Знайдіть значення виразу:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) .

17. Знайдіть найбільше та найменше значення виразу:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) .

18. Визначить знак виразу:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) .

до змісту