1.2.5. Теорія корисності

При вирішенні проблем ліквідації “вузьких місць” завжди треба враховувати цілі, бажання й нужди тих, хто зацікавлений у цьому (маються на увазі не тільки ті, хто керує процесом, усуває проблему, але й ті, хто є “суб'єктами» цих “вузьких місць”, тобто безпосередньо піддається їхньому впливу), тобто визначати корисність тих чи інших кроків, дій, рішень. Тому важливо дослідити основи розбудови процедур для визначення переваг у кількісній форми, що має важливе значення для осіб, що приймають рішення (ОПР). Термін “корисність” має два значення:

• Якісна, або порівняльна, оцінка, що характеризується такими ствердженнями, як “Я ціную це більш, ніж те” або “Я вважаю, що х має перевагу над y”.

• Кількісна оцінка, що виражає за допомогою числа певну перевагу.

Враховуючи таку подвійність для відображення якісної характеристики об’єкту звичайно використовують термін “перевага”, у той час, як для кількісного представлення переваг використовують термін “корисність”.

Теорія корисності (переваг) витікає з двох гіпотез:

Вважається, що множина, яка розглядається як множина варіантів рішення, стратегій або способів поведінки, не є пустою (хоча вона може містити у собі неприпустимі альтернативи, що обумовлено тим, що важко ідентифікувати усі припустимі альтернативи за допомогою певної простої процедури, або тому, що деякі неприпустимі альтернативи можуть стати у нагоді підчас вимірювання або масштабування корисності);

Передбачається бінарність переваг, що знаходить відображення у введенні відношення “перевага – або – байдужність” (“нестрога перевага”) на множині альтернатив.

Бінарне відношення R на не пустій множині Х є підмножиною множини усіх упорядкованих пар елементів з Х і являє собою фундаментальне поняття теорії переваг. Множина усіх упорядкованих пар задається прямим добутком ХxХ = {(x, y): x ∈ X, y ∈ X}. Запис xRy (тобто х знаходиться у відношенні R до у) означає, що (х, у) належить R, у той час як запис “не xRy” (або ) означає, що (х, у) не належить R, або що х не знаходиться у відношенні R до у.

Існує чотири групи властивостей бінарних відношень. Бінарне відношення R на множині Х може бути:

• Рефлексивним, якщо xRx для кожного х∈Х, або нерефлексивним, якщо

не xRx (або ) для кожного х∈Х;

• Симетричним, якщо з xRy випливає yRx, або асиметричним, якщо з xRy випливає не yRx (або );

• Транзитивним, якщо з xRy i yRz випливає xRz, або негативно транзитивним, якщо з не xRy (або ) i не yRz (або ) випливає не xRz (або );

• Зв’язним, якщо xRy чи yRx, або слабко зв’язним , якщо з х ≠ у випливає xRy або yRx.

В теорії переваг використовуються два головних бінарних відношення на множині Х:

• Відношення нестрогої переваги ≿ (зв’язне), коли х ≿ у трактується як таке, де х або має переваги над у, або байдужий до у;

• Відношення переваги ≻ (асиметричне), коли х ≻ у трактується як таке, де х має переваги над у.

Бінарне відношення не дозволяє чітко спрямувати вибір між кількома альтернативами, коли кожна з них є менш краща, ніж деяка інша.

Таким чином, теорія вибору, яка б могла одразу урахувати й вирішити циклічні переваги, повинна бути “багатіше” й “глибше” ніж прості бінарні відношення. Нажаль, така теорія для довільного (загального) випадку ще не створена - є лише часткові результати для вирішення конкретних проблем вибору. Але й те, що вже зроблено, дає змогу відтворювати функції корисності і приймати достатньо слушні рішення.

Функцією корисності u звуть таку речовинну функцію для відношення переваги, що визначена на Х, яка забезпечує х ≻ у , якщо u(x) > u(y) для будь-яких х та у. Досконалою функцією корисності для відношення переваги на Х при цьому звуть таку функцію у разі, якщо для усіх х та у з Х справедлива нерівність u(x) > u(y) виключно за умовою, коли х ≻ у.

Бінарне відношення ≺ є слабко упорядкованим, якщо відношення ≻ та ∼ транзитивні, і, у свою чергу, відношення ≻ є слабко упорядкованим, якщо воно від’ємно транзитивне й асиметричне. Оскільки відношення ∼ транзитивно, воно є відношенням еквівалентності (транзитивним, симетричним, рефлексивним) і може бути використано для розподілу множини Х на класи еквівалентності, або класи байдужності. Класи байдужності в Х збігаються з підмножинами альтернатив, які мають однакову корисність. Такі класи байдужності звуться контурами рівної корисності. Ці контури являють собою криві, на кожній з яких будь-які дві точки знаходяться у відношенні байдужності, а перевага зростає по мірі віддалення від початку координат. У разі великої розмірності класи байдужності звуться поверхнями байдужності або поверхнями обміну. Набір траєкторій байдужності економісти звуть “картами байдужності”.

Звичайно, в реальних обставинах доводиться мати справу з очікуваною корисністю. Припускається, що бінарне відношення переваги визначено на множині P усіх простих розподілів ймовірностей p, q,…, які задані на непустій множині Х. Елементами Х можуть бути чисті стратегії чи альтернативи, або вони можуть представляти собою результати чи наслідки деяких рішень, що приймаються у ситуаціях, які містять у собі елемент ризику; ймовірності таких результатів описуються певним розподілом з Р. Простим розподілом ймовірностей р звуть речову функцію Р, яка приймає позитивні значення на більшості елементів х з кінцевої множини Х, причому сума усіх значень р(х) дорівнює одиниці. Розподіли з Р в залежності від контексту звуться ставками, іграми, лотереями, альтернативами ризику, змішаними стратегіями, рандомізованими стратегіями. Для будь-яких розподілів р та q з Р вираз

αр + (1 – α)q зветься прямою лінійною комбінацією розподілів р та q, де α – дійсне число, яке знаходиться у межах 0,0 – 1,0. Таким чином, якщо r = αp + (1 – α)q, то r(x) = αp(x) + (1 – α)q(x) для будь-якого х з Х. Якщо р і q належать Р і 0 ≤ α ≤ 1, то αp + (1 – α)q також належить Р.

Корисність р дорівнює математичному очікуванню додаткової (допоміжної) функції v(х) = u(p) (за умовою, що р(х) = 1) з розподілом ймовірностей р, який задано на Х. Якщо розглядати v(x) як корисність результату, то вираз

u(p) = p(x₁)v(x₁) + … + p(x_n)v(х_n)

може свідчити про те, що корисність певної альтернативи (з елементом ризику) дорівнює очікуваній корисності для результатів, які можуть мати місце при використанні цієї альтернативи.

Співвідношення * можна використати при масштабуванні й обчисленні корисності.

В економіці й математичній психології головним поняттям (замість поняття переваги) є “вибір”, тому у цих сферах діяльності визначають функцію вибору (детерміновану або імовірнісну), яка задана на підмножині альтернатив.

Теорія корисності може знайти ефективне використання у першу чергу при вирішенні задач з великою кількістю чинників та критеріїв, а також у разі прийняття рішень в умовах невизначеності.