1.2.4. Теорія графів. Сіткове планування

Теорія графів – царина дискретної математики, яка займається дослідженням та вирішенням різноманітних проблем, які зв’язані з об’єктом, що має назву граф й визначається завданням двох множин – множини V верхівок графа, яка зображується у вигляді точок на площині або у просторі, та множини E пар елементів з V. Кожний елемент множини E визначає пару верхівок, між якими існує зв’язок. Вона (ця пара) може відображуватися як лінія, що поєднує відповідні верхівки, причому ця лінія має проходити лише через ті верхівки, які вона поєднує, а різні лінії можуть перехрещуватися лише в верхівках. Якщо в парах, що складають множину E, зазначають верхівку, яка є першою (тобто у якому напрямку відбувається зв’язок), то граф звуть орієнтованим, а елементи множини E – дугами. У протилежному випадку граф – неорієнтований, а елементи E звуться ребрами.

В теорії графів зустрічаються, головним чином, з двома формулюваннями задач. У першому випадку треба відповісти на питання, чи існують об’єкти , які мають певну властивість, і якщо це так, то скільки їх або яка їхня максимально можлива кількість. У другому випадку треба визначити, як побудувати граф чи підграф , який має певні властивості. Іноді задаються умови, яким повинен задовольняти той чи інший граф, щоб мати певні властивості.

З властивостей графа витікає цікава задача щодо організації ефективного руху міського транспорту (а це, по суті, вирішення проблеми не тільки мінімізації техногенного навантаження на екосистему міст, але й проблеми мінімізації витрат пального). Вона пов’язана з вибором вулиць для однобічного та двобічного руху: однобічний рух слід організувати на максимально можливій кількості вулиць. Умови, яким повинна задовольняти схема руху по вулицям, щоб будь-які два пункти міста були взаємно досяжні, полягають у тому, щоб на усіх вулицям, які належать до контурів, було організовано однобічний рух, а усі вулиці, які не належать до контурів, використалися б для двобічного руху

Найбільш широке застосування методи теорії графів отримали при вирішенні проблем планування й транспортних проблем. У практиці комунального господарства весь час приходиться мати справу з розробкою тих чи інших проектів, програм, займатися організаційним керуванням галуззю, чи тією або іншою підгалуззю. Усе це є прямим обов'язком менеджерів і може виконуватися лише за умовою адекватного планування. Одним з найбільш зручних, наочних та ефективних методів такого планування є сітьове планування (СП). Метод СП гранично простий . Він поділяється на три етапи:

• Складання мережі подій від поточного моменту часу до моменту закінчення програми;

• Оцінювання часу виконання кожної операції в мережі;

• Аналіз шляхом простих підрахунків можливості виконання робіт, що намічені, у межах визначеного терміну.

Метод СП не дає відповіді на питання, як вирішувати проблеми, що виникають в результаті аналізу – це справа керівника проекту.

СП являє собою сукупність методів дослідження операцій, які будуються на використанні моделей комплексів (проектів, розробок, програм тощо). Поняття комплексу у самому загальному розумінні цього терміну визначає процес досягнення певної мети, яка може бути відображена як скінчена частково упорядкована множина операцій (робіт). Для представлення операцій та векторів їхнього виконання використовують орієнтовані графи, тобто упорядковані пари (V, E), де V - непуста множина верхівок графа (вузлів мережі), а Е – упорядковані бінарні відносини на V, які мають назву дуг, причому послідовність дуг зветься маршрутом. Графічне відображення найбільш поширеного типу моделей мереж, які звуться кон'юнктивними чи канонічними моделями мережі, має вигляд, що дійсно нагадує сітку. Вузли сітки (верхівки графа) відображують суттєві результати виконання операцій (робіт), що входять до цієї верхівки, й, одночасно, визначають необхідні й достатні умови можливості початку робіт (операцій), що виходять з цієї верхівки. Така змістовна інтерпретація верхівок мережевої моделі, які позначаються звичайно колами, отримала назву подій. Дуги графа мережевої моделі відображують операції, які розглядаються як реальні процеси, для виконання котрих витрачаються певні ресурси та час, або як процеси, що вимагають тільки витрат часу, або, нарешті, як логічні взаємозв'язки, які не вимагають ні ресурсів ані часу, але грають принципову роль для адекватного представлення структури комплексу. Останні операції отримали назву фіктивних. Таким чином мережева модель будується з елементів двох типів, будь-яка послідовність яких створює маршрут. Довжина маршруту визначається сумою довжин (тривалості) операцій, що входять до цього маршруту. Довжини м(тривалості) позначаються числами, що стоять поряд із відповідними дугами. Маршрут максимальної довжини, який пов'язує початкову та кінцеву події мережі, має назву критичного. Усі операції, що не належать до критичного маршруту, можна зсувати у часі у межах їхніх резервів часу, не збільшуючи при цьому загальної тривалості комплексу. Ця властивість широко використовується у разі визначення планових строків початку операцій з урахуванням наявності ресурсів та міркувань надійності виконання плану, що формується. Сітьова модель не обов'язково відображується у вигляді креслення. Вона може бути однозначно визначена різноманітними матрицями (у яких рядки з верху до долу відповідають послідовним номерам подій, а у стовпцях, які також відповідають послідовним номерам подій, одиницями зазначають факти зв'язку даної події з відповідними іншими, а нулями - відсутність такого зв'язку), таблицями та системами нерівності.

Головними правилами побудови будь-якої мережі є такі:

- ніякі дві роботи не можуть бути ідентифіковані тими ж самими подіями, тобто з будь-якого вузла не можуть вийти дві паралельні роботи, які обидві одночасно завершуються у наступному вузлі (з метою забезпечення однозначності подій, пов'язаних із завершенням робіт, іноді використовують так звану фіктивну роботу, яка не потребує ні згаданим вище наступним вузлом фіктивною роботою);

- співвідношення "попередній-наступний" повинні дотримуватися на протязі усієї мережі.

Критичними вважаються роботи, затримка яких призводить до еквівалентної затримки завершення робіт усього проекту. Шлях крізь мережу, який складається цілком з таких робіт, звуть критичним маршрутом. Критичний маршрут визначається як маршрут з нульовим резервом часу, де резерв часу - це кількість часу, на протязі якого робота може затримуватися, не викликаючи збільшення часу до настання події завершення проекту. Для розрахунку резервного часу спочатку слід виконати розрахунок мережі від початку до кінця й отримати оцінки самого раннього початку кожної роботи у кожному вузлі мережі. Щоб визначити час самого пізнього завершення кожної роботи виконують розрахунок мережі у зворотному напрямку - від кінця до початку. Загальний резерв часу для кожної роботи знаходять як різницю між часом, який знаходиться у розпорядженні й тривалістю роботи.

Розрахунок при проходженні мережі у прямому напрямку відбувається за наступним алгоритмом:

ES_i = max_k{ES_k + t_ki}, i = 2,..., n,

де і - номер вузла, t_ki - тривалість (k - 1)-ї роботи, ES₁ = 0, ES[i] – самий ранній час початку усіх робіт, яким передує і-й вузол.

Розрахунок при проходженні у зворотному напрямку відбувається за алгоритмом

LF_j = min_k{LF_k - t_jk}, j = 1, 2, ..., n-1,

де j - вузли, LF_j - найпізніший (припустимий) час закінчення усіх робіт, що завершуються у j-му вузлі, LF_n = ES_n - для вузла мережі, що відповідає завершенню проекту.

Загальний резерв часу обчислюється за допомогою наступного виразу:

TF_ij = LF_j - ES_i - t_ij,

причому LS_ij = LF_j - t_ij, а EF_ij = ES_i + t_ij, де LS_ij - самий пізній час початку, а EF[ij] - самий ранішній час закінчення (i-j)-ї роботи, так що можна записати наступні рівняння:

TF_ij = LS_ij - ES_i

TF_ij = LF_j - EF_ij.

Наслідки прямого й зворотного підрахунків, а також резервний час для проекту можуть бути представлені у таблиці, в якій для кожної роботи наведені її тривалість, самий ранній час (початку й кінця роботи), самий пізній час (початку й кінця роботи), загальний резерв часу (який отримується за умовою незалежного розглядання кожної роботи).

Приклад сітьового графіку виконання певного проекту наведений на рис.1.4 , а часові характеристики цього графіку - у Табл .1.2

Рис.1.4

Сітьовий графік

Час

Час

- тривалість роботи; - самий пізній час виконання,

критичний маршрут

Апарат СП призначений для вирішення двох головних проблем:

- формування календарного плану реалізації комплексу;

- прийняття ефективних рішень у процесі виконання цього плану.

Ефект, який досягається за рахунок СП, обумовлений у першу чергу внесенням жорстких логічних елементів у формування плану, які дозволяють залучити до аналізу й синтезу планів сучасний математичний апарат й засоби обчислювальної техніки. СП - досить універсальний апарат, який може використатися для формування планів у таких галузях, як будівництво житла й інших споруд, а також шляхів, літако- й суднобудування, комунальне господарство тощо.

СП можна використати як для вирішення індивідуальних проблем керівників будь-якого рівня, так і для створення великих складних систем (наприклад, транспортної мережі міста, включаючи й приміське сполучення, системи водо- та теплопостачання, розбудови метрополітену тощо).

Підгрунтям СП, як вже було зазначено вище, є розбудова структурної мережі комплексу, яка визначає (з потрібною ступінню деталізації) склад операцій комплексу й логічні взаємозв'язки між ними у часі. Піддаються аналізу на змістовному рівні необхідні й достатні умови початку будь-якої операції, яка залучена до мережі. Вибір складу самих операцій й ступеня їхньої деталізації вирішується в залежності від природи комплексу, що розглядається, та конкретних задач планування, які цікавлять керівництво організації чи груп організацій (підприємств), призначених реалізувати комплекс. У ряді випадків до мережі залучаються операції, які відображують створення ресурсів, необхідних для реалізації комплексу, але таких, що не знаходяться у межах компетенції організацій, які виконують комплекс. В інших випадках такі операції не включаються до мережі. Після визначення (або завдання) числових оцінок параметрів (таких як тривалість операцій,

Таблиця 1.2

Часові характеристики сітьового графіку

Робота (*)	Тривалість роботи, людино-дні	Самий ранній час		Самий пізній час		Загальний резерв часу, дні
		Початок, день	Завер-шення, день	Початок,день	Завер-шення, день
1-2 1-3* 1-4 2-5 3-5* 3-6 3-7 4-6 5-7* 6-7 4-8 6-8 7-9* 8-9	10 15 9 6 15 4 12 9 8 15 13 9 11 16	0 0 0 10 15 15 15 9 16 19 9 19 24 22	10 15 9 16 30 19 27 18 24 34 22 28 35 38	4 0 0 14 15 15 26 13 30 23 14 24 38 27	14 15 9 20 30 19 38 22 38 38 27 33 49 43	4 0 0 4 0 0 11 4 0 4 5 5 0 5

(*) - Ці роботи, за визначенням, належать до критичного маршруту

потреби у ресурсах, необхідних для виконання операцій тощо) розроблений вихідний варіант мережі піддається аналізу, у результаті чого виявляється, чи задовольняє цей варіант обмеженням, які задані заздалегідь. У разі, коли ці обмеження не виконуються,результати аналізу дозволяють робити ті чи інші зміни у первісному варіанті плану. Ефект, який досягнуто за рахунок змін, що внесені, має бути оцінений за допомогою повторного аналізу: відбувається, так би мовити, "програвання" рішень на мережі. Подібні ітерації продовжуються до того моменту, поки не буде отримано варіант плану, який задовольняє вимогам, або не буде встановлено, що усі можливості покращення плану вичерпані й умови, які були сформульовані у завданні на комплекс, не можуть бути виконані.

На мережах комплексів вирішуються оптимізаційні задачі двох класів:

• мінімізації тривалості комплексу з урахуванням обмежень на ресурси;

- оптимального використання ресурсів за умовою незмінної тривалості комплексу.

Механізм використання СП на стадії реалізації комплексу зводиться до регулярного збирання інформації про його фактичний стан на момент часу, що розглядається, та про зміни, які прогнозуються на відтинок часу, що планується, по відношенню до варіанту плану, що виконується. Отримана інформація обробляється на моделі мережі з метою формування планових завдань на черговий відтинок часу.

На підставі СП будуються системи організаційного керування, що можуть охоплювати усю діяльність організації, мати функціональний характер (наприклад, підсистема підготовки виробництва), або відноситися до окремих комплексів. Сітьові системи у порівнянні з традиційними системами організаційного керування характеризуються значно чіткішими алгоритмами функціонування як у режимі вихідного планування, так і у режимі оперативного керування.