Ймовірність того, що час очікування довільного надходження, менший, ніж τ, задається формулою

P(<τ) = 1 – ρe^-μτ(1-ρ),

А середній час очікування в стаціонарному стані дорівнює

W = ρ/[μ(1 – ρ)].

У разі наявності С однотипних каналів обслуговування, кожний з яких має експоненційний розподіл часу обслуговування із середнею інтенсивністю μ/с, вигідність такої структури залежить від поведінки вхідного потоку. Якщо прийняти його за пуасонівський із середнею інтенсивністю λ, стаціонарне значення імовірностей P_k того, що зайнято k каналів обслуговування, і середня кількість K зайнятих каналів, мають відповідно наступний вигляд:

P_k = {(Сρ)^k/k!}{e^-Сρ/[E_c(Сρ)]} та K = {СρE_С-1(Сρ)}/{E_c(Сρ)},

де E_c(Сρ) – так звана функція Ерланга . Її загальний вираз має такий вигляд:

E_k(x) = .

Тут прийнято, з урахуванням можливості утворення черг, використання декількох індексів m, q та n, де n –кількість станів системи, або довжина черги, причому при x < k E_k(x) близька до одиниці і значно менше одиниці при x > k.

Таким чином, розподіляючи обслуговуючий механізм на С паралельних ліній (якщо це можливо без втрати ефективності, тобто якщо інтенсивність обслуговування кожної з С ліній буде μ/С), можна зменшити витрати системи. При цьому ймовірність того, що хоча б одна з ліній буде вільна, виявляється більшою, ніж ймовірність наявності вільної системи з однією швидкою лінією обслуговування (з інтенсивністю μ), а тому й більша кількість вільних одиниць “втягується” в систему, хоча вони й відповідно довше будуть простоювати в очікуванні обслуговування, ніж у випадку однолінійної системи. Середня кількість одиниць K в системі при великому значенні С практично дорівнює

Сρ = С(λ/μ) при ρ<1 і дорівнює С, коли ρ>1. Треба зазначити, що якщо вхідний потік є зв'язаним і тому повинен очікувати обслуговування, стан стаціонарної рівноваги системи у значній мірі визначається порядком обслуговування. Якщо черга з одиниць утворюється перед кожною лінією обслуговування і одиниця випадковим шляхом обирає лінію, то така система просто складається з С незалежних однолінійних систем, кожна з яких має експоненційний розподіл часу обслуговування з інтенсивністю μ/С й пуасонівським вхідним потоком з інтенсивністю λ/С. Тому коефіцієнт використання для кожної лінії ρ = λ/μ дорівнює коефіцієнту використання усієї системи. Середня довжина черги у кожній лінії дорівнює L_q = ρ²/(1-ρ), але оскільки існує С таких ліній, повна кількість одиниць, що очікують обслуговування, в С разів більше відповідної кількості для однолінійної системи з тією ж інтенсивністю обслуговування. Аналогічно й середній час очікування у черзі дорівнює (С/λ)L_q, тобто у С разів більше, ніж для однолінійної системи з у С разів більшою інтенсивністю обслуговування. Таким чином, розподіл системи на паралельні лінії не дає жодного виграшу, якщо окремі черги випадковим чином формуються перед кожною лінією. При цьому, якщо одиниці не мають права переходити в іншу чергу, окремі лінії використовуються неефективно: багато з них можуть бути вільними, у той час як перед іншими будуть вишикуватися черги. Практично будь-який інший порядок обслуговування дозволить більш ефективно використати усі С ліній, наприклад, якщо одиниця, яка надходить, може обирати лінію з найменшою чергою і якщо з декількох однакових черг (найменших) вона обирає випадковим чином одну. Найбільш ефективним буде використання однієї загальної черги для усіх С ліній. При цьому стаціонарне значення ймовірності P_q того, що в системі знаходиться q одиниць (у черзі чи в обслуговуючому пристрої) буде, відповідно для випадків 0 q C та С q,

P_q = P₀(Cρ)^q/q! та P₀ρ_qC^C/C!,

повна кількість одиниць в системі L = λW, а довжина черги – відповідно

L_q = L – Cρ.

Звідси витікає, що якщо бажано зменшити час перебування W одиниці в системі (тобто у черзі чи обслуговуючому пристрої) , вигідніше використати одну лінію обслуговування із середньою інтенсивністю μ. У той же час, якщо бажано скоротити середню затримку W_q у черзі, то краще використати декілька ліній обслуговування. Розподіл однієї лінії обслуговування на С ліній з інтенсивністю в С разів меншою , скорочує довжину черги й час очікування за рахунок збільшення часу обслуговування. Рішення про слушність такого вибору залежить від того, які характеристики системи обслуговування є важливішими.

Черги у системах масового обслуговування мають місце або у разі систем з відмовами, або систем з обмеженим обсягом простору, який надається для очікування. У першому випадку вимогам, які надходять в момент, коли усі обслуговуючі пристрої зайняті, в обслуговуванні відмовляють і, таким чином, система обслуговування їх втрачає (як це має місце у спробі налагодити телефонний зв’язок, якщо усі лінії зайняті). У другому випадку вимоги, що надходять, мають можливість очікувати обслуговування лише за умовою, що кількість вимог, які вже знаходяться в системі, не перевищує певне фіксоване число (тобто передбачена обмежена кількість місць для очікування). Використовуючи економічні показники, які пов’язані із затримками, якістю обслуговування та рентабельністю системи, можна визначити оптимальні значення обсягу простору для очікування, кількості обслуговуючих пристроїв, коефіцієнту завантаження, інтенсивності обслуговування тощо. Так, для одноканальної системи з економічної точки зору оптимальною є інтенсивність обслуговування, яка витікає з співвідношення

μ^* = λ + ,

де Ss – витрати, пов’язані з роботою одного обслуговуючого пристрою на протязі одиничного інтервалу часу (наприклад, на протязі хвилини), а Sw – вартість очікування будь-якої з вимог на протязі одиничного інтервалу часу. З урахуванням таких самих економічних передумов, що й у наведеному вище прикладі одноканальної системи, оптимальна кількість обслуговуючих пристроїв за умовою пуасонівського потоку вимог відповідає умові

С^* = b₁ + ,

де λ – інтенсивність надходження вимог, а b₁ та b2 – перший та другий моменти довільного розподілу ймовірностей тривалостей обслуговування.

Встановлено, що якщо точно відомо, скільки часу потрібно для обслуговування кожної з вимог, що надійшли, то дисципліною черги, за якою мінімізується середня за весь період обслуговування довжина черги й середня за період функціонування системи тривалість очікування (без права пропускати уперед клієнтів з більш низьким пріоритетом), є дисципліна, що заснована на пріоритеті “першою обслуговується вимога, яку можна обслужити швидше за інших”. Якщо ж дисципліна черги така, що вимога з більш високим пріоритетом має право обслуговуватися за більш низьким пріоритетом, то середня за весь період, що розглядається, довжина черги й середня тривалість очікування мінімізуються за умовою, що клієнт, тривалість обслуговування якого менш за все відрізняється від тривалості обслуговування клієнту з найвищим пріоритетом, має обслуговуватися у першу чергу.

Існує ще один тип задач обслуговування за пріоритетом, коли пріоритет продається обслуговуючою системою й купується клієнтом, причому функція, що визначає сплату за підвищення пріоритету, оптимальна, якщо із збільшенням “нетерплячки” клієнта вона монотонно зростає.

Взагалі, теорія систем масового обслуговування є ефективним засобом оптимального вирішування “задач на вузькі місця”.