1.2.3. Теорія масового обслуговування

Теорія масового обслуговування виникла як відповідь на необхідність створити модель для прогнозування станів системи, що призначалася для забезпечення обслуговування випадково виникаючих запитів. В теорії масового обслуговування одним з головних понять є поняття черги, тобто лінійного ланцюжка об’єктів, що вишикувалися один за одним в очікуванні того чи іншого виду обслуговування. Суб’єкти обслуговування, що утворюють чергу, звичайно прийнято називати “заявками на обслуговування” чи “вимогами”. Обслуговуючі об’єкти, або “одиниці”, прийнято називати “обслуговуючими пристроями”.

Хоча реальні системи масового обслуговування в багатьох деталях відрізняються одна від одної, усі вони мають і спільні риси, серед яких є наступні.

1. Вхідний потік (потік вимог або заявок на обслуговування), для опису якого необхідно знати характеристики джерела вимог, тип вимог та довжину інтервалів часу між появою вимог. Усі ці чинники, як правило, можуть бути оцінені за допомогою методів й засобів теорії імовірності.

2. Механізм обслуговування (системи масового обслуговування відрізняються кількістю обслуговуючих пристроїв, кількістю вимог, які можуть одночасно обслуговуватися, тривалістю та типом обслуговування). Характеристики процесу обслуговування описуються за допомогою випадкових величин.

3. Дисципліна черги визначається правилами, згідно з якими механізм обслуговування приймає вимогу, що надійшла, до обслуговування. Це, в першу чергу, такі правила, як “першим прийшов – першим підлягаєш обслуговуванню” (ПППО), “останнім прийшов – першим підлягаєш обслуговуванню” (ОППО), “випадковий відбір вимог” (ВВВ). В багатьох ситуаціях з метою надання опису процесу, що досліджується, більшого реалізму удаються до поняття “пріоритет”, коли обслуговування здійснюється згідно з пріоритетом клієнта, тобто має місце “відбір вимог за пріоритетом” (ВВП). Є й інші чинники, які можна долучити до цього пункту і які відображують індивідуальну поведінку клієнтів (ухиляння від обслуговування, перехід з однієї черги до іншої, різні облудні дії тощо).

Класифікація цільових призначень теорії масового обслуговування базується на виділенні в її структурі різних класів задач й відповідних областей застосування результатів, які мають бути отримані. Звичайно розглядають такі загальні класи задач:

• Задачі аналізу поведінки системи;

• Статистичні задачі;

• Операційні задачі.

Мета розглядання задач аналізу поведінки системи полягає у тому, щоб за допомогою математичних моделей, таких, що більш-менш детально відображують властивості реальних систем масового обслуговування, виявити операційні характеристики, які визначають поведінку цих систем в процесі їхнього функціонування. До головних операційних характеристик будь-якої системи масового обслуговування відносяться наступні:

Q(t) – довжина черги в момент часу t, тобто кількість вимог, які знаходяться в системі на момент часу t (або кількість вимог, які очікують обслуговування і не включають вимоги, обслуговування яких вже розпочато);

Q_n - довжина черги на n-му етапі (вважається, що етап реалізується у дискретному режимі й визначається тими чи іншими подіями, наприклад, надходженням вимоги у систему, або вибуттям вимоги з системи);

W(t) – віртуальна тривалість очікування відносно моменту часу t, тобто час очікування обслуговування вимоги, яка надійде в систему в момент часу t;

W_n – тривалість періоду, на протязі якого n-а вимога очікує обслуговування;

T_q – тривалість періоду зайнятості системи , початок якого відповідає

Q(0) = q, тобто довжина періоду зайнятості системи, який починається за умовою наявності в системі і вимог (при q = 1, так як і при q = 0 в момент, безпосередньо передуючий надходженню вимоги обслуговування, систему прийнято вважати такою, що почала функціонувати, тобто зайнятою);

I_n – тривалість n-го періоду простою системи, тобто довжина інтервалу часу, на протязі якого система в n-й раз виявляється не зайнятою.

Разом з зазначеними операційними характеристиками використовуються і різні їхні модифікації, такі як повна тривалість перебування вимоги в системі, операційний цикл (сума тривалостей періоду зайнятості й періоду простою, що безпосередньо слідує за зайнятостю), сумарний корисний час (доля часу, на протязі якого обслуговуючий пристрій знаходиться у стані завантаженості). Оскільки процес надходження вимог та/або процес обслуговування мають випадковий характер, Q(t), Q_n, W(t) і W_n являють собою випадкові процеси у відповідних просторах станів й параметрів, а T_q та I_n є випадковими величинами. Визначення властивостей розподілів й моментів Q(t), Q_n, W(t), W_n, T_q та I_n і є головою метою, яку переслідують при моделюванні й аналізі поведінки систем масового обслуговування.

Слід зауважити, що довжина черги не залежить від дисципліни черги за умовою, що а) на протязі усього періоду, поки в системі є не задоволені вимоги, обслуговуючий пристрій не припиняє функціонування, б) обслуговування будь-якої вимоги доводиться до кінця і в) дисципліна черги не базується на пріоритеті динамічного типу (тобто “правила гри” залишаються незмінними). У випадку, коли має місце дисципліна ПППО і система має у розпорядженні лише один обслуговуючий пристрій, віртуальна тривалість очікування фактично співпадає з тривалістю періоду завантаження обслуговуючого пристрою.

Багато з систем масового обслуговування відрізняються властивістю стабілізування (до певної міри) їхньої поведінки після витікання того чи іншого часу. Формально це проявляється у появленні певних властивостей процесів {Q(t)}, {W(t)} при t  ∞ та {Q_n } й {W_n} при n → ∞. Для зручності іноді використовують такі позначення: Q(∞) = Q, W(∞) = W, Q_n→∞ = Q_∞ та W_n→∞ = W_∞. Коли поведінка системи повністю стабілізується (тобто перестане змінюватися зі зміною часу), процес її функціонування набуває властивостей стаціонарного процесу, якому притаманна незалежність від часового зсуву математичного очікування.

На практиці часто зручніше оперувати простими та легко вимірюваними показниками, ніж складними формулами для розподілу ймовірностей та моментів. Вибір показників такого роду залежить, звичайно, від характеру досліджуваної системи та цілей аналізу. У зв’язку з цим треба підкреслити , що найбільш часто використовується такий показник, як ступінь завантаженості обслуговуючого пристрою, що визначається коефіцієнтом навантаження системи

ρ = λ/Cμ ,

де λ – середня частота надходження вимог (кількість надходжень в одиницю часу), C – кількість каналів обслуговування, μ – середній темп обслуговування одним каналом (обслуговуючим пристроєм).

Якщо прийняти cередню кількість незайнятих каналів обслуговування C_f, (наприклад, кількість ділянок для виконання ремонту), кількість одиниць (авто, які вимагають ремонту), що знаходяться в системі n , ймовірність того, що в момент t в системі буде знаходитися точно n одиниць, які очікують обслуговування або знаходяться в процесі обслуговування, P_n(t), ймовірність p_n того, що в стаціонарному режимі роботи в системі знаходиться n одиниць, які очікують обслуговування, або знаходяться у процесі обслуговування, то взаємозв’язок між P_n(t) та p_n може бути охарактеризований виразом

_n(t) = _n = 1,

інтенсивність надходжень - відповідно як

C_p = C – C_а = _n + _n,

а середня кількість одиниць L_q, що очікують у черзі обслуговування - як

L_q = _n = L – C + C_f ,

де L = _n – середня кількість одиниць в системі, які очікують, або знаходяться в процесі обслуговування.

Середній час очікування в системі W (математичне очікування часу обслуговування) може бути знайдений з виразу

W = (< τ),

де P(<τ) = 1 – P(>τ) – ймовірність очікування менше часу τ. Цей вираз можна використати, наприклад, для того, щоб визначити, що дешевше: збільшити кількість каналів обслуговування на k одиниць, чи покращити якість обслуговування за рахунок зменшення на Δμ середнього часу (темпу) обслуговування. Виходячи, наприклад, з існуючої кількості С каналів обслуговування, можна дорівняти

W(C + k, μ, λ) = W(C, μ + Δμ, λ)

й отримати відносне покращення якості обслуговування Δμ/μ, яке відповідає збільшенню кількості каналів на k одиниць. Приймаючи до уваги економічні міркування, можна вирішити, яке вдосконалення слід ввести.

Статистичне дослідження є невід’ємною частиною розробки математичної моделі реальної системи. У загальному вигляді модель може існувати сама по собі, але її приведення у кількісну відповідність до конкретної системи масового обслуговування досягається шляхом статистичного аналізу емпіричних даних, оцінювання параметрів, що фігурують в моделі, та перевірок вихідних гіпотез. Параметрами системи є параметри, які асоціюються з процесом надходження вимог й механізмом обслуговування, або з деякими функціями цих параметрів. Це можна проілюструвати таким чином. Нехай вимоги q₁, q₂, … надходять відповідно у моменти часу t₁, t₂, …. Величина U_n = t_n - t_n-1 є довжиною часового інтервалу між моментами надходження вимог q_n-1 та q_n. Позначимо τ_n тривалість обслуговування вимоги q_n. (У випадку, коли вимоги надходять групами, ці визначення необхідно належним чином модифікувати; крім того, слід ввести поняття розподілу стосовно до розміру групи). Нехай A(t) = Pr {U_n ≤ t} (t ≥ 0) та B(t) = Pr{τ_n ≤ t} (t ≥ 0) – відповідно функції розподілу інтервалів часу між надходженнями вимог із функцією щільності імовірності a(t) та часу обслуговування із функцією щільності імовірності b(t) . (Тут для спрощення позначень індекс n , який слід було додати до величин A(t) та B(t), опущений). Таким чином, параметрами системи є параметри функцій А(t) та В(t), розподіли ймовірностей деяких інших величин (наприклад, у разі групових надходжень – розміру груп), а також фізичні характеристики системи, такі як кількість обслуговуючих пристроїв, кількість черг, обсяг простору, який відведено для вимог, що очікують обслуговування тощо. Таким чином, статистичні задачі, що виникають підчас дослідження систем масового обслуговування, пов’язані з оцінкою параметрів головних процесів, які протікають у системі.

Наявність в теорії масового обслуговування задач операційної спрямованості дає підстави вважати цю теорію одним з розділів системного аналізу. Деякі з операційних задач за своєю природою відносяться до розряду статистичних. Інші операційні задачі виникають підчас проектування систем масового обслуговування, управління реальними системами та оцінювання їхньої ефективності. Таким чином підчас постановки операційних задач слід розрізняти підходи описовий та нормативний. У першому випадку опис системи через її операційні характеристики (характеристики поведінки) використовується для прийняття рішень відносно режиму функціонування даної системи. З іншого боку, у випадку нормативного підходу шляхом математичного моделювання процесів, що протікають у системі, встановлюються нормативні вимоги для забезпечення ефективної роботи системи. Наприклад, з урахуванням економічних (вартісних) й фізичних обмежень можна встановити такі швидкості обслуговування, які оптимізують належним чином цільову функцію, що побудована.

До найбільш поширених систем масового обслуговування відносяться системи зв’язку, транспортні системи, обчислювальні та інформаційні системи, системи технічного обслуговування, а також системи обслуговування пацієнтів у клініці, пасажирів на стоянках таксі, покупців у магазинах, конвеєрне виробництво, операції на митниці, регулювання вуличного руху, обслуговування у ресторані, продаж квитків тощо.

Інтервали часу між надходженнями вимог в системах масового обслуговування (якщо прийняти пуасонівський розподіл, для якого характерно те, що загальна кількість надходжень вимог на протязі даного інтервалу часу не залежить від кількості надходжень, які вже мали місце до початку цього інтервалу, а середня довжина інтервалу часу між появленням двох послідовних вимог 1/λ є сталою величиною) підкоряються показниковому закону, за яким функція розподілу має вигляд

A(t) = 1 – e^-λt .

Якщо в момент початку операції очікуючих у черзі не має , процес , якій відбувається в одноканальній системі з пуасонівським вхідним потоком й обслуговуванням за правилом ПППО, описується рівняннями

(λ + μ) p_n = λp_n-1 + μp_n+1 при n≥1,

або

p₁ = ρ p₀ при n =0,

де ρ = λ/μ. При цьому математичне очікування кількості клієнтів, що знаходяться в системі, може бути визначене як

L = ρ/(1 – ρ),

а дисперсія D, що характеризує коливання кількості очікуючих, знаходиться за допомогою виразу

D = L + (ρ/[1-ρ])² .