21) Уравнение Пуассона, связывающее параметры идеального газа при адиабатическом процессе:

или Сonst

22. Коэффициент полезного действия тепловой машины:

где Q₁ -тепло, переданное рабочему телу; Q₂ - тепло, отданное теплоприемнику.

Термический КПД цикла Карно

Где Т₁ -температура теплоотдатчика; Т₂ — температура теплоприемника.

23) Разность энтропии двух состояний В и А:

24) Коэффициент поверхностного натяжении:

α=F/l или α=ΔE/ΔS.

где F — сила поверхностного натяжения, действующая на контур l. ограничивающий поверхность жидкости; ΔE — изменение свободной энергии поверхностной пленки жидкости, связанное с изменением площади ΔS поверхности этой пленки.

25) Формула Лапласа, выражающая давление, создаваемое сферической поверхностью жидкости:

где R – радиус сферической поверхности.

26) Высота подъема жидкости в капиллярной трубке:

где θ-краевой угол (θ = 0 при полном смачивании стенок трубки жидкостью; θ = л при полном несмачивании) , R-радиус трубки; р — плотность жидкости; g—ускорение силы тяжести (g= 9,81 м/с²).

Высота подьема жидкости между двумя близкими и параллельными друг другу плоскостями:

где d—расстояние между плоскостями.

Примеры решения задач

Пример 1.

Определить количество вещества v и число N молекул углекислого газа массой m=200 г.

Решение.

Число N молекул, содержащихся в газе массой m, равно произведению постоянной Авогадро на количество вещества v:

N=vN_a

Количество вещества v = m/μ, где μ молярная масса.

Определяем молярную массу CO₂:

μ =12+16*2=44*10^-3кг/моль;

N=4,5*6,02*10²³=27,09 • 10²³ молекул.

Пример 2.

Найти массу сернистого газа (SO₂), занимающего объем 25 л при температуре 27⁰С и давлении 101 кПа.

Решение.

Из уравнения Клапейрона — Менделеева масса газа находится:

Молярную массу сернистого газа определяем по данным таблицы Менделеева:

μ =32+16*2=64*10^-3 кг/моль.

Вычисляем массу:

Пример 3.

В баллоне содержится m₁=40 г кислорода и m₂ = 240 г аргона. Давление смеси 2 МПа, температура 100 К. Определить объем баллона.

Решение.

По закону Дальтона давление газовой смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих и смесь.

Парциальные давления кислорода Р₁, и аргона P₂ находятся из уравнения Клапейрона—Менделеева:

,

Давление смеси газов:

Отсюда объем баллона:

Молярные массы определяем по данным таблицы Менделеева:

μ=32*10^-3кг/моль

μ=40*10^-3 кг/моль

Вычислим объем:

Пример 4.

В баллоне объемом₄ V=10 л находится гелий под давлением P₁=1 МПа и при температуре T₁ = 300 К. После того, как из баллона выпущено m=10 г гелия, температура в баллоне понизилась до Т₂ = 290 К. Определить давление P₂ гелия, оставшегося в баллоне.

Решение.

Применим уравнение Клапейрона — Менделеева к конечному состоянию газа:

где т₂ - масса гелии в баллоне в конечном состоянии; μ — молярная масса гелии; R — молярная газовая постоянная. Из этого уравнения выразим искомое давление:

Масса гелия m₂ определится:

m₂=m₁-m,

где m₁ масса гелия в начальном состоянии; m— масса гелия, взятого из баллона.

Масса гелия т₁, находится из уравнения Клапейрона--Менделеева, записанного для начального состояния:

Окончательно искомое давление выразится:

Проверим размерность искомой величины. Для этого подставим в правую часть единицы измерения величин. Первое слагаемое дает единицу давления. Для второго слагаемого:

С учетом значения μ=4*10^-3 кг/моль вычислим давление P₂^

Пример 5.

Определить среднюю кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы углекислого газа при температуре 400 К и кинетическую энергию вращательного движения всех молекул углекислого газа, находящихся в 20 г.

Решение.

На каждую степень свободы молекулы газа приходится одинаковая средняя энергия <ε> = 1/2 КТ, где К—постоянная Больцмана; Т — температура газа. Так как для трехатомной молекулы углекислого газа три степени свободы приходятся на поступательное движение и три степени свободы на вращательное движение, поэтому средняя энергия вращательного движения одной молекулы:

Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул газа:

Число молекул газа n=vN_a , где N_а – постоянная Авогадро; υ - количество вещества.

С учетом того, что получаем N=N_a(m/μ). Полная кинетическая энергия вращения всех молекул, таки образом определяет:

Учитывая, что для углекислого газа μ=44*10^-3кг/моль, произведем вычисления:

<ε_вращ>=3/2KT=3/2*1,38*10^-23*400 Дж=8,28*10^-21Дж

Пример 6.

Чему равны удельные теплоемкости с_v и c_p некоторого двухатомного газа, если плотность этого газа при нормальных условиях равна 1,43 кг/м³?

Решение.

Удельные теплоемкости выражаются

Из уравнения Клапейрона —.Менделеева выражаем μ:

_PV=m/ μ RT и μ=mRT/PV=ρRT/p

так как плотность газа ρ= m/v.

Подставляя молярную массу в формулы для теплоемкости, имеем:

Произведем вычисления, учитывая, что для двухатомного газа число степеней слободы i = 5, а при нормальных условиях давление P= 1,01 • !0⁵ Па и T = 273 К.

Пример 7.

В цилиндре под поршнем находится водород массой т= 0,02 кг при температуре T = 300 К. Водород сначала расширился адиабатно, увеличив объем в 5 раз, а затем изотермически сжался, уменьшив объем в 5 раз. Найти температуру в конце адиабатного расширения и работу, совершенную газом в этих процессах.

Решение.

В адиабатном процессе температура и объем газа связаны соотношением:

TV^γ-1= const, то есть Т₂/Т₁=( V₁/V₂) ^γ-1

где γ- отношение теплоемкостей газов (γ=C_p/C_v).

Конечная температура T₂,, отсюда определится:

T₂=T₁*( V₁/V₂) ^γ-1.

Работа при адиабатном расширении определится:

где С_v- молярная теплоемкость газа при постоянном объеме:

Работа при изотермическом процессе определится:

Проведем вычисления, учитывая, что для водорода, как двухатомного газа, i=5,

γ= 1,4, μ=2*10^-3кг/моль;

Здесь знак «минус» означает, что при сжатии работа совершается над газом внешними силами.

Пример 8.

Тепловая машина работает по обратимому циклу Карно. Температура теплоотдатчика Т₁ = 600 К. Определить термический КПД цикла и температуру Т₂ теплоприемника, если за счет каждого килоджоуля теплоты, получаемой от тепло-отдатчика, совершается работа А = 250 Дж.

Решение.

Термический КПД тепловой машины показывает, какая доля тепла, полученного от теплоотдатчика, затрачивается на совершение механической работы, и определяется:

где Q₁ — количество тепла, получаемое от теплоотдатчика; А — механическая работа, совершаемая рабочим телом тепловой машины.

С другой стороны, КПД цикла Карно определяется температурами теплоотдатчика и теплоприемника:

Отсюда температура теплоприемника:

Произведем вычисления:

η = 250/ 1000 = 0,25;

T₂ = 600 (1—0,25)K = 450 К.

Пример 9.

Найти добавочное давление внутри мыльного пузыря диаметром d=10 см. Какую работу нужно совершить, чтобы выдуть этот пузырь?

Решение.

Пленка мыльного пузыря имеет внешнюю и внутреннюю сферические поверхности и обе оказывают давление на воздух, включенный внутри пузыря. Диаметры обеих поверхностей можно считать одинаковыми, так как толщина пленки мала. Добавочное давление поэтому определится:

P=2(2α/r),

Где α – коэффициент поверхностного натяжения; r – радиус пузыря; r=d/2.

Окончательно: P=8 α/d

Работа, затрачиваемая на увеличение поверхности пленки на величину ΔS запишется:

А= α ΔS= α(S-S₀),

Где S – общая площадь двух сферических поверхностей пленки мыльного пузыря; S₀ – общая площадь двух поверхностей плоской пленки, имевшейся до выдувания пузыря, которой в задаче можно пренебреч. Поэтому:

А= α S= απd².

Произведем вычисления:

Пример 10.

Найти изменение энтропии при превращении 10 г льда при -20⁰С в пар при 100⁰С.

Решение.

Изменение энтропии определяется формулой

где .S₁, и S₂ — значения энтропии в первом и во втором состоянии соответственно.

В данном случае общее изменение энтропии складывается из изменении ее в отдельных процессах.

1) Нагревание массы т льда от температуры Т₁ до температуры Т₂. При этом,

dQ=mc₁dT

где c₁ — удельная теплоемкость льда.

Таким образом:

2) Плавление массы m льда при температуре Т₂. Здесь

m

где λ — удельная теплота плавления. Определяем

ΔS=λm/T₂.

3)Нагревание массы m поды от T₂ до T₃:

где с₂ — удельная теплоемкость воды.

4)Испарение массы m поды при температуре Е₃:

ΔS₄=rm/T₃,

Где r – удельная теплота парообразования.

Общее изменение энтропии:

Произведем вычисления, имея в виду, что с₁ = 2,1*IО³ Дж/кг.К, Т₁ = 253 К. Т₂= 273К, Т₃ = 373 К, λ = 3,35*I0⁵ Дж/кг, с₂= 4,19*10³ Дж/(кгК), r = 2,26*10⁶ Дж/кг.

ΔS = 88 Дж/К.

Пример 11.

Найти изменение энтропии при переходе 8 г кислорода от объема в 10 л при температуре 80°С к объему в 40 л при температуре 300 °С.

Решение.

Имеем изменение энтропии

Но

Учитывая уравнение Клапейрона — Менделеева

имеем:

или

После вычислений получаем

S₂— S₁=5,4 Дж/К.