Доверительные интервалы для параметров нормального распределения.

1. Интервальная оценка m_x.

1. Известно точное значение D_x (или δ_x)

(15)

- с.в.

Все x_i нормальные - нормальное.

Найдем параметры нормального распределения для с.в. .

(несмещаемость)

(16)

В формуле (15) подсчитывается вероятность отклонения нормальной с.в. от ее m_x.

(17)

(18)

tγ – обратная функции Лапласа.

(19)

С доверительной вероятностью γ m_x нормального распределения находится в интервале:

(20)

Обычно задают γ=0,95; 0,99; 0,999 и находят интервал.

Замечание: формулой (20) можно пользоваться и других распределений, но только для выборок большого объема.

2. Значения D_x не известно:

Формулой воспользоваться нельзя: хотя - нормальная величина, но параметры его неизвестны. Преобразуем это неравенство:

с.в.с распределением

Стьюдента

(21)

Получено уравнение, связывающее γ и t_γ. Сущ-ют таблицы t_γ= t_γ(γ,n)

t_γ= t_γ(γ,n) (22)

Для m_x получаем доверительный интервал:

(23)

t_γ(γ,n) – по таблицам

П.Интервальная оценка для параметра δ

(24)

S-δ σ_x S S+δ

Перестраивается с.в. S и сводится к распределению Х² . Окончательная ф-ла для доверительного интервала:

(25)

q=q(γ,n) – по таблицам.

Образец набора

При изучении теории вероятностей мы рассмотрели два различных типа случайностей: случайные события и случайные величины.

Выяснили, что во многих случаях можно теоретическим путем рассчитывать вероятности случайных событий (классическое определение вероятности). В то же время существуют ситуации (и таких, вообще говоря, гораздо больше), когда классическое определение применить невозможно. Тогда единственным путем для определения вероятности случайных событий остается эксперимент, наблюдения.

При изучении случайных величин оказалось, что мы можем прогнозировать их поведение, предсказывать вероятности попаданий случайных величин в любые интересующие нас интервалы, если только нам известен закон распределения. При этом во многих случаях теория может предсказать, с каким законом распределения мы имеем дело в данной конкретной ситуации. А как быть в тех случаях, когда о характере закона распределения мы ничего сказать не можем? Единственный выход – проведение эксперимента, наблюдений над случайной величиной и построение закона распределения по результатам этих наблюдений.

Замечание: О содержании понятия опыт, эксперимент.

В инженерных науках, в технике, в физике и т. д. это специально создаваемые исследователем условия для появления интересующего нас явления, для измерений интересующей нас величины. Такой эксперимент (опыт) называют активным экспериментом.

В экономике, в социологии и в ряде других наук гораздо чаще приходится добывать интересующую нас информацию, не вмешиваясь активно в условия, а только наблюдая происходящие независимо от исследователя явления. Это иногда называют пассивными экспериментом. Здесь правильнее использовать термин «наблюдение».

Что касается определения вероятностей случайных событий опытным путем, то это вопрос уже нами обсуждался, причем в самом начале курса теории вероятностей (см. статистическое определение вероятности ). Вероятность оценивается по данным наблюдений с помощью относительной частоты появления события A:

( 1 )

Здесь знаменатель N – число опытов (проведенных наблюдений);

числитель M – число наблюдений, в которых событие появилось.

Подсчитанное таким образом число, это приблизительное значение вероятности, оценка для вероятности. Чем больше проведено наблюдений, тем ближе относительная частота к истинному значению вероятности.

Что же касается закона распределения, то его построение по результатам наблюдений требует проведения специальной последовательности действий и специально анализа.

Предметом математической статистики является разработка методов отбора, обработки и анализа опытных данных для получения информации о случайных величинах и их взаимосвязи.

Основные задачи математической статистики.