3. Пример выполнения задания

3.1. Задача 8.201.1. Изгиб с растяжением

Для заданной схемы нагружения балки требуется:

1. построить эпюры внутренних усилий;

2. выбрать опасное сечение балки, определить его геометрические характеристики;

3. определить положение нейтральной оси в опасном сечении;

4. определить положение и координаты опасных точек опасного сечения; вычислить нормальные напряжения в этих точках и построить эпюру нормальных напряжений в опасном сечении.

Заданная схема показана на рисунке 31, данные для выполнения расчета приведены в таблице 31.

Рисунок 31 – Заданная схема к задаче 8.201.1

Таблица 31– Исходные данные к задаче 8.201.1

qa

qb

P1

P2

P3

1

2

1

2

3

a

b

c

кН/м

кН/м

кН

кН

кН

кНм

кНм

град

град

град

м

м

м

8,00

10,00

40,00

0

0

5,00

0

30

0

0

0,6

0,6

0,01

Решение:

(для студентов гидротехнической и механических специальностей)

1. Заданную внешнюю нагрузку (см. рисунок 32 а) раскладываем на составляющие:

1. нагрузка, действующая в вертикальной плоскости XY (см. рисунок 32 б); строим эпюру изгибающих моментов (внешний момент положителен при вращении по часовой стрелке) (см. рисунки 32 в, в' );

2. нагрузка, действующая в плоскости горизонтальной XZ (см. рисунок 32 г); строим эпюру изгибающих моментов (внешний момент положителен при вращении против часовой стрелки) (см. рисунки 32 д, д' );

3. нагрузка, действующая параллельно оси X (см. рисунок 32 е); строим эпюру продольных сил (см. рисунок 32 ж).

Сосредоточенные силы и сосредоточенные моменты, действующие в плоскости поперечного сечения стержня, дают проекции на вертикальную и горизонтальную плоскости (см. рисунки 32 б и 32 г).

Сосредоточенные силы, действующие параллельно оси X не из центра тяжести сечения, кроме проекций на ось X (см. рисунок 32 е) дают в вертикальной и горизонтальной плоскости сосредоточенные моменты (см. рисунки 32 б и 32 г).

Методом сечений по участкам построим эпюры внутренних усилий.

I участок (cв)

Изгибающий момент в вертикальной плоскости:

Изгибающий момент в горизонтальной плоскости:

Продольная сила:

II участок (ва)

Изгибающий момент в вертикальной плоскости:

Изгибающий момент в горизонтальной плоскости:

Продольная сила:

Примечание – для уточнения эпюры изгибающего момента на участках с распределенной нагрузкой, необходимо построить эпюру поперечных сил (в данном примере не выполняется).

2. Опасным является сечение в точке А, так как в этом сечении все внутренние усилия одновременно достигают наибольших значений:

Примечания:

1. Опасным является сечение, в котором все внутренние усилия одновременно достигают наибольших по абсолютной величине значений.

2. Если такого сечения нет, то дальнейший расчет необходимо выполнить для всех сечений, где внутренние усилия достаточно велики.

3. Если эпюра в расчетном сечении имеет разрыв (скачек), то следует обратить особое внимание на то, что значения всех усилий берутся либо справа от сечения, либо слева.

Найдем геометрические характеристики поперечного сечения заданной балки.

Площадь:

Главные центральные моменты инерции:

Примечание – если в поперечном сечении имеется вырез, то все его геометрические характеристики следует вычитать. Если главные центральные (собственные) оси выреза и внешнего контура сечения не совпадают (параллельны), то для выреза необходимо учитывать переносной момент инерции (произведение площади выреза на квадрат расстояния между параллельными осями).

3. Найдем положение нейтральной оси в опасном сечении. Ее уравнение  = 0. Нормальные напряжения в опасном сечении определяются по формуле:

(1)

где N, M_z, M_y – внутренние усилия, действующие в опасном сечении, взятые с эпюр с учетом знака.

Тогда уравнение нейтральной оси примет вид:

(2)

Рисунок 32 – К задаче 8.1: а, б, г, е – расчетные схемы; в, д – эпюры изгибающих моментов для студентов гидротехнической специальности; в', д' – эпюры изгибающих моментов для студентов механических специальностей; ж – эпюра продольных сил

Подставляя числовые значения величин в формулу (2), получим:

Для построения нейтральной оси найдем координаты двух ее точек:

Нейтральная ось показана на рисунке 33.

4. Для построения эпюры нормальных напряжений проведем параллельно нейтральной оси касательные к контуру сечения. Точки касания, наиболее удаленные точки от нейтральной оси, это опасные точки сечения. В этих точках возникают наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения. Найдем координаты опасных точек сечения:

Точка 1 имеет координаты: y₁ = 0,05 м; z₁ = – 0,025 м;

точка 2 имеет координаты: y₂ = – 0,05 м; z₂ = 0,025 м.

Подставляя в формулу (1) значения внутренних усилий в опасном сечении и координаты опасных точек, получим:

Эпюра нормальных напряжений показана на рисунке 33.

Примечания:

1. Если в поперечном сечении есть вырез, то дополнительно необходимо провести касательные к контуру выреза и определить напряжения в точках 3 и 4 (см. рисунок 34). Эти дополнительные касательные отсекут на эпюре напряжений область, где напряжения возникать не будут (нет материала, следовательно, нет внутренних усилий, поэтому не будет и напряжений). На эпюре напряжений эти области не штрихуются.

2. Если на расчетной схеме нет горизонтальных сил, то эпюра продольных сил N отсутствует. Стержень испытывает косой изгиб, при этом нейтральная ось всегда проходит через начало координат (y_но = 0; z_но = 0). Положение второй точки нейтральной оси можно определить, задав произвольное значение одной из координат, например y_но, а вторую координату (z_но) вычислить из уравнения нейтральной оси (2). При косом изгибе положение нейтральной оси также можно определить с помощью угла наклона ее к одной из координатных осей. Найдем угол наклона нейтральной оси к оси Z (см. рисунок 35):

(3)

где  – угол, на который нужно повернуть ось Z против часовой стрелки (если   0) или по часовой стрелке (если   0), для того, чтобы она совпала с нейтральной осью.

3. Для круглого поперечного сечения опасные точки лежат на одном диаметре перпендикулярном нейтральной оси. Следовательно, координаты опасных точек y и z одинаковы по модулю соответственно (см. рисунок 36). Этот диаметр является следом плоскости изгибающего момента в этом сечении и составляет угол  с осью Z ( = ^/₂ – ):

(4)

где  – угол, на который нужно повернуть ось Z против часовой стрелки (если   0) или по часовой стрелке (если   0), для того, чтобы она совпала с нейтральной осью.

Координаты опасных точек y и z по модулю определяются по выражениям:

(5)

где R – радиус круга.

Рисунок 33 – Эпюра нормальных напряжений в опасном сечении балки

Рисунок 34 – Эпюра нормальных напряжений в опасном сечении балки

Рисунок 35 – Эпюра нормальных напряжений в опасном сечении балки

Рисунок 36 – Эпюра нормальных напряжений в опасном сечении балки

Решение:

(для студентов кораблестроительной и экологической специальностей)

1. Заданную внешнюю нагрузку (см. рисунок 37 а) раскладываем на составляющие:

4. нагрузка, действующая в вертикальной плоскости XZ (см. рисунок 37 б); строим эпюры изгибающих моментов и срезывающих сил (см. рисунки 37 в, в' );

5. нагрузка, действующая в плоскости горизонтальной XY (см. рисунок 37 г); строим эпюру изгибающих моментов и срезывающих сил (см. рисунки 37 д, д' );

6. нагрузка, действующая параллельно оси X (см. рисунок 37 е); строим эпюру осевых сил (см. рисунок 37 ж).

Примечание – при составлении плоских расчетных схем на силовую плоскость нужно всегда смотреть с положительного направления координатной оси, это позволяет при построении эпюр изгибающих моментов в разных силовых плоскостях использовать одно правило знаков (внешний момент положителен при вращении против часовой стрелки). При этом на горизонтальную плоскость XY мы смотрим как бы снизу вверх, поэтому при переносе нагрузки с общей расчетной схемы на расчетную схему этой плоскости необходимо изменить ее направление на противоположное.

Сосредоточенные силы и сосредоточенные моменты, действующие в плоскости поперечного сечения стержня, дают проекции на вертикальную и горизонтальную плоскости (см. рисунки 37 б и 37 г).

Сосредоточенные силы, действующие параллельно оси X не из центра тяжести сечения, кроме проекций на ось X (см. рисунок 37 е) дают в вертикальной и горизонтальной плоскости сосредоточенные моменты (см. рисунки 37 б и 37 г).

Методом сечений по участкам построим эпюры внутренних усилий.