Тема 5. Случайные величины и законы их распределения

Случайные величины (СВ) – это величины, значения которых измеряются в опыте (эксперименте).

Функцией F(Х) распределения вероятностей СВ называется вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее, чем произвольное действительное число х из интервала (; +):

F(Х) = P(X < x).

Дискретные (прерывные) СВ  это случайные величины, которые могут принимать только конечное или счётное число значений с определёнными вероятностями. Для задания дискретной СВ X необходимо знать все её возможные значения х₁, х₂, …, х_i, ..., х_n и вероятности p_i = P(Х = x_i), где , с которыми она может их принять.

Правило, по которому всем значениям x_i ставятся в соответствие вероятности p_i, с которыми СВ может их принять, называют законом распределения дискретной СВ X.

Дискретная СВ X имеет биномиальное распределение с параметрами р и п, если она принимает целочисленные значения m (m = 0, 1, …, n) с вероятностями .

Дискретная СВ X имеет геометрическое распределение с параметром р, если она принимает значения k = 1, 2, ... с вероятностями .

Дискретная СВ X имеет распределение Пуассона с параметром  ( = nр), если она принимает значения k = 0, 1, 2, 3, ... с вероятностями , где   среднее значение числа появления события А в n опытах; р – вероятность наступления события А в одном опыте; k – число появлений события А в n независимых опытах.

Непрерывные СВ  это СВ, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый конечный или бесконечный интервал.

Плотностью распределения вероятностей (или плотностью распределения, плотностью вероятности) непрерывной СВ X называется производная от её функции распределения:

.

Непрерывная СВ X распределена равномерно на отрезке [а; b], если её плотность имеет вид

.

Непрерывная СВ X, принимающая неотрицательные значения, имеет показательное (экспоненциальное) распределение с параметром , если её плотность распределения имеет вид

где   среднее значение числа появления события в заданном интервале времени.

Непрерывная СВ X имеет нормальное распределение (Гаусса) с параметрами m и  > 0, если её плотность распределения имеет вид

, Х  (, +).

Вероятность попадания нормально распределённой СВ в заданный интервал

,

где (х)  функция распределения нормального распределения с параметрами 0 и 1, называемая интегралом Лапласа или интегральной функцией Лапласа. Эта функция затабулирована (см. [1], приложение 1); является нечётной, т.е. (х) = (х).

Тема 6. Числовые характеристики случайных величин

Математическое ожидание случайной величины  это характеристика положения случайной величины на числовой оси, определяемая по формуле

Основные свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной С равно этой постоянной, т.е.

МС = С.

2. Постоянную величину С можно выносить за знак математического ожидания, т.е. М(СХ) = СМХ.

3. Математическое ожидание функции Y = g(X) от СВ Х вычисляется по формуле

где p_i  вероятности распределения дискретной СВ; f(x)  плотность распределения непрерывной СВ.

4. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей: М(Х₁Х₂Х₃…Х_п) = М(Х₁)М(Х₂)М(Х₃)… М(Х_п).

5. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

М(Х₁ + Х₂ + Х₃ +…+ Х_п) = М(Х₁) + М(Х₂) + М(Х₃) +…+ М(Х_п).

Дисперсия случайной величины  это характеристика рассеивания значений случайной величины около её математического ожидания, определяемая по формуле

.

Если СВ X дискретна и известен её закон распределения, то дисперсия

.

Если же СВ X непрерывна и известна её плотность f(x), то дисперсию находят так:

.

Основные свойства дисперсии:

1. Дисперсия любой СВ неотрицательна, т.е. DX  0.

2. Дисперсия постоянной величины С равна нулю, т.е. DС  0.

3. Дисперсия произведения СВ X на постоянную С равна произведению дисперсии СВ X на квадрат постоянной: .

4. Дисперсия СВ X не изменится, если к СВ прибавить постоянную величину, т.е. D(C + Х) = DX.

5. Дисперсия суммы двух случайных величин равна сумме дисперсий этих величин и удвоенной ковариации между ними:

.

Ковариация независимых СВ X и Y равна нулю. Для таких величин дисперсия, как их суммы, так и разности равна сумме дисперсий:

.

Среднеквадратическим отклонением случайной величины X называют значение квадратного корня из дисперсии данной величины:

.

Степень зависимости между СВ обычно оценивают с помощью числовых характеристик зависимости, среди которых особую роль играет ковариация.

Ковариация случайных величин X и Y – это математическое ожидание произведения центрированных величин:

.

Ковариация вычисляется по формуле:

Ковариация СВ описывает, помимо рассеивания СВ X и Y, связь между ними: если случайные величины X и Y независимы, то .

Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называют нормированную ковариацию случайных величин X и Y:

,

где DX, DY – дисперсии случайных величин X и Y.

Случайные величины, имеющие нулевой коэффициент корреляции, называют некоррелированными.

Решите задачу 5 Вашего варианта контрольного задания.