Тема 1. Случайные события и вероятности

Опыт – совокупная общественная практика; основа познания и критерий истинности наших знаний об окружающем мире. В узком смысле слова под опытом понимают наблюдение и эксперимент.

Наблюдение – метод исследования предметов и явлений объективной действительности в том виде, в каком они существуют и происходят в природе и обществе в естественных условиях и являются доступными непосредственному восприятию человека.

Эксперимент – научно поставленный опыт, целенаправленное изучение вызванного нами явления в точно учитываемых условиях, когда имеется возможность следить за ходом изменения явления, активно воздействовать на него с помощью целого комплекса разнообразных приборов и средств и воссоздавать это явление каждый раз, когда налицо те же самые условия и когда в этом есть необходимость.

Случайное событие – событие, которое может произойти, а может и не произойти в результате опыта. Случайное событие (или просто событие) – не происшествие, а лишь возможный результат опыта. Событие, которое обязательно наступит в результате опыта, называют достоверным (обозначается символом ), а, которое никогда не произойдёт – невозможным (обозначается символом ).

Событие может состоять из нескольких простых, элементарных исходов.

Совокупность всех элементарных исходов в опыте называется пространством элементарных исходов (обозначается символом ), а сами элементарные исходы  точками этого пространства.

Событие, заключающееся в том, что из двух событий А и В происходит по крайней мере одно, называют суммой (или объединением) событий А и В и обозначают А + В.

Событие, состоящее в одновременном наступлении обоих событий А и В, называют произведением (или пересечением) событий А и В и обозначают (или просто ).

Событие, состоящее в том, что происходит событие А и не происходит событие В, называют разностью событий А и В и обозначают А  В.

Противоположным событию А называется такое событие , которое состоит в том, что событие А не произошло. Для противоположных событий одновременно выполняются два соотношения:

+ A = , A = .

Два события называют несовместными (или несовместимыми), если их одновременное наступление невозможно, т. е. АВ = .

Вероятность случайного события А (обозначается Р(А), где Р – оператор вероятности) – численная мера степени объективной возможности наступления данного события, которая удовлетворяет четырём аксиомам.

А1 (аксиома существования вероятности). Каждому случайному событию А поставлено в соответствие неотрицательное число Р(А): Р(А)  0.

А2 (вероятность достоверного события). Вероятность достоверного события равна единице: Р() = 1.

А3 (аксиома сложения). Если события А и В несовместны (АВ = ), то вероятность их суммы равна сумме вероятностей отдельных событий.

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

А4 (расширенная аксиома сложения). Если событие А равносильно наступлению хотя бы одного из попарно несовместных событий , т.е. , то .

Важнейшие следствия, вытекающие из аксиом вероятности:

1. Вероятность противоположного события

= 1  Р(А).

2. Вероятность невозможного события равна нулю:

Р() = 0.

3. Вероятность любого события Р(А)  [0, 1].

4. Если события А₁, А₂, ..., А_k попарно несовместны, то

Р(А₁ + А₂ + ...+ А_k) = Р(А₁) + Р(А₂) + ... + Р(А_k).

5. Если события А₁, А₂, ..., А_k образуют полную группу, то

Р(А₁) + Р(А₂) + ... + Р(А_k) = 1.

6. (теорема сложения) Для произвольных событий А и В вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей двух событий без вероятности их пересечения, т. е.

.

Классическое определение вероятности (классическая вероятность): вероятность события А равна отношению числа М возможных исходов опыта, благоприятствующих наступлению события А, к числу N всех возможных исходов опыта, т.е. .

Геометрическое определение вероятности (геометрическая вероятность): вероятность события А (попадания точки, брошенной наудачу в область g  часть области G) равна отношению размера области g, попадание в которую благоприятствует наступления события А, к размеру области G, в которую точка попадёт достоверно, т.е. , где mes – мера (длина, площадь, объём) области.

Статистической вероятностью (или относительной частотой) события А называется отношение числа m опытов, в которых данное событие произошло, к общему числу n фактически произведённых опытов, т.е. .