3.3. Составные формулы
Пусть теперь подынтегральная функция задана в (n+1) точка интервала интегрирования. Способом, рассмотренным выше, можно найти соответствующую квадратурную формулу. Но на практике поступают иначе. К каждому интервалу между точками применяют формулу трапеций и полученные результаты складывают:
(60)
Таким образом, интеграл вычисляют по составной формуле трапеций
(61)
Так как здесь формула трапеций применена раз, можно приближенно принять, что погрешность составной формулы в n раз больше погрешности формулы трапеций:
(62)
Аналогично, если количество подинтервалов n, на которые разбит интервал интегрирования, есть четное число n = 2k, то к каждой паре подинтервалов можно применить формулу Симпсона и получить составную формулу Симпсона:
(63)
Так как формула Симпсона применена
раз, можно приближенно принять, что
погрешность составной формулы Симпсона
в
раз больше погрешности формулы Симпсона:
(64)
3.4. Практическая оценка погрешности численного интегрирования
Значения
производных
и
в формуле (62), (64) неизвестны, поэтому
сделать оценку погрешности непосредственно
по этим формулам невозможно. На практике
для этого пользуются приемом Рунге.
Интеграл вычисляют дважды:
сначала с шагом H = 2h
затем с шагом h .
Если обозначить результаты вычислений по составной формуле трапеций через ZH и Zh соответственно, то "точное" значение интеграла можно выразить через эти величины:
(65)
(66)
Вычитая из (66) почленно (65), можно получить погрешность RT :
(67)
Аналогично можно получить оценку погрешности при расчетах по составной формуле Симпсона:
(68)
Следует подчеркнуть, что формулы (67), (68) дают оценку погрешности приближенного результата Zh.
3.5. Пример численного интегрирования функции
Пусть подынтегральная функция задана таблицей.
X |
0,00 |
0,75 |
1,50 |
2,25 |
3,00 |
f(x) |
0,0000 |
0,6816 |
0,9975 |
0,7781 |
0,1411 |
Вычислим значение интеграла
и оценим погрешность результата.
1. Определяем шаги h = 0,75 и H = 1,5.
2. Вычисляем интеграл Zh. с одинарным шагом h по составной формуле Симпсона (63):
3. Вычисляем интеграл ZH с двойным шагом Н:
4. Находим оценку абсолютной погрешности:
5. Уточняем значение интеграла:
Заметим теперь, что в нашем примере задана таблица функции f(x) = Sin(x) и значение интеграла с точностью до четырех знаков после запятой на самом деле равно 1,9900. Таким образом, абсолютная погрешность величины Zh в действительности составляет -0,0037, а погрешность уточнённого значения интеграла +0,0011.