3.2. Формула Симпсона

1. Пусть теперь подынтегральная функция задана тремя равно­отстоящими точками

.

Тогда в квадратурной формуле (29) необходимо определить три коэф­фициента A₁, A₂, A₃.

Без ограничения общности, для упрощения выкладок можно по­ложить и квадратурную формулу искать в виде

. (37)

2. Через три заданные точки можно однозначно провести график многочлена не выше второй степени. Поэтому коэффициенты A₁, A₂, A₃ найдем из условия пригодности квадратурной формулы для точного интегрирования таких многочленов.

Запишем подынтегральную функцию в форме многочлена Лагранжа второй степени:

(38)

где - квадратичные функции формы (21).

Из (38) следует, что коэффициенты A₁, A₂, A₃ можно найти интегри­рованием функций формы

(39)

В силу свойства 3 функций формы (см. подразд. 2.2) формула (37) с коэффициентами (39) будет точна для всего множества многочленов не выше второй степени, проходящих через заданные точки. Она получила название форцулы Симпсона и записывается в общем вида так:

(40)

Формула Симпсона оказывается точной и для любого многочлена третьей степени, проходящего через те же три точки. Это следствие интересного свойства степенных многочленов, заключающегося в том, что интеграл от любого из бесконечного множества многочленов третьей степени, проходящих через три равноотстоящие точки, имеет одно и то же значение, равное интегралу от единственного многочлена второй степени, проходящего через те же точки.

Докажем, что это свойство действительно существует. Запишем многочлены второй и третьей степени в форме Тейлора, приняв нуль за центр разложения:

(41)

(42)

Составим условия прохождения многочленов через три заданные точки

. (43)

(44)

(45)

Вычисляя из (41) и (42) значения многочленов и подставляя их в (43)-(45), получаем

(46)

(47)

(48)

Почленно складывая равенства (46) и (48) с учетом (47), получаем, что у таких многочленов в средней точке равны не только их значения, но и значения вторых производных:

(49)

(50)

Найдем теперь интегралы от многочленов:

(51)

(52)

Учитывая (49) и (50), убеждаемся, что значения интегралов равны.

3. Теперь найдем оценку погрешности формулы Симпсона в случае применения ее для интегрирования произвольной функции f(x). Разложим вблизи нуля эту функцию в степенной ряд. Поскольку формула Симпсона точна для многочленов третьей степени, ее ошибку для функции f(x) можно оценить, удерживая в разложении остаточный член, пропорциональный четвертой степени:

(53)

Из (53) найдем все значения, необходимые для подстановки в левую и правую части формулы Симпсона

(54)

(55)

при допущении, что :

(56)

(57)

Подставляя (55) в левуп часть (54), а (56) и (57) - в правую часть (54) и приводя подобные, получаем

(58)

Отсюда находим оценку погрешности формулы Симпсона

(59)