Приложение 5

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

Если функция у =f(Х) непрерывна на отрезке [a, b] и известна ее первообразная F(X), то определенный интеграл от этой функции от а до b может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница

(27)

Во многих случаях первообразная отыскивается с трудом или вообще не выражается через известные элементарные функции. А в тех случаях, когда подынтегральная функция задана таблично, первообразная вообще теряет смысл. Поэтому важное значение имеют численные методы интегрирования функций.

Численное интегрирование выполняется на основании известного ряда значений подынтегральной функции:

… (28)

Значение интеграла Z получают по так называемой квадратурной формуле

(29)

Числовые значения коэффициентов A_i и погрешность формулы зависят от количества n точек на интервале интегрирования и от их расположения.

Прежде чем рассматривать различные варианты, установим общий план построения и применения квадратурных формул.

1. Для каждого конкретного случая задаемся расположением точек X_i на интервале интегрирования.

2. Находим такие коэффициенты A_i квадратурной формулы, которые позволяют получить по ней точный результат при интегрировании степенных многочленов не выше некоторой степени m, определяемой количеством точек на интервале.

3. Имея формулу, пригодную для численного интегрирования степенных многочленов, попытаемся применить ее для произвольных функций. Очевидно, результат такого интегрирования будет приближенным. На основании приближенной замены подынтегральной функции степенным многочленом найдем оценку погрешности численного интегрирования по квадратурной формуле.

3.1. Формула трапеций

1. Пусть подынтегральная функция задана двумя точками на концах интервала интегрирования длиной h, то есть y₁=f(a); y₂=f(b); b-a=h. Тогда в квадратурной формуле (29) необ­ходимо определить два коэффициента А₁, и А₂.

2. Через две заданные точки можно однозначно провести графи многочлена не выше первой степени. Поэтому коэффициенты А₁, и А₂ найдем из условия пригодности квадратурной формулы для точного инте­грирования многочленов не выше первой степени. Фигура, задаваемая такими многочленами на интервале интегрирования, является трапецией общего вида (прямоугольником, треугольником (ами) или трапецией), площадь которой

. (30)

Поэтому и, соответственно, квадратурная формула

(31)

называется формулой трапеций.

3. Теперь найдем оценку погрешности формулы трапеций в случае применения ее для интегрирования произвольной функции f(x).

Предварительно заметим, что результат интегрирования (площадь криволинейной трапеции) не зависит от расположения интервала интегрирования на оси абсцисс. Поэтому без ущерба для последующих рассуждений можно размещать начало координаты Х там, где это удобно для математических выкладок.

Пусть начало координаты X совпадает с нижним пределом инте­грирования, т.е. a=0, b=h .

Запишем подынтегральную функцию в виде степенного многочлена по формуле Тейлора, приняв за центр разложения нижний предел ин­тегрирования

(32)

Тогда

(33)

(34)

Подставляя (32)-(34) соответственно в левую и правую час­ти формулы трапеций и учитывая погрешность R, получим

(35)

Допуская, что на всем интервале интегрирования вторая производная постоянна , найдем оценку погрешности формулы трапеций:

(36)