2.2. Приближение функций, заданных таблично

Пусть функция y(x) задана таблицей, содержащей n точек (x1,y1), (x2,y2), ... ,(xn,yn). В этом случае задача о приближении функции ставится следующим образом: данную функцию y(x) требуется заменить многочленом Q_m(x) степени m так, чтобы отклонение функции y(x) от многочлена Q_m на множестве точек, заданном таблицей, было минимальным.

Очевидно, минимальным отклонение будет тогда, когда график многочлена проходит через все заданные точки:

(14)

Однако выполнить условия (14) можно далеко не всегда. Это зависит от соотношения между количеством точек n в таблице и степенью m многочлена. Отсюда следуют два типа задач теории приближения:

• интерполирование (m=n-1);

• аппроксимация (m<n-1).

При соотношении m>n-1 задача приближения становится некор­ректной. Например, требуется через две точки (n=2) провести график многочлена второй степени (m=2). Это можно сделать бес­конечным множеством способов, но чтобы выбрать единственный из них, требуется использовать дополнительные условия.

2.2.1. Интерполирование функций

Будем считать, что между степенью m многочлена и количеством точек n в таблице функции y(x) существует соотношение

m=n-1. (15)

Тогда многочлен называют интерполяционным, а точки таблицы (x_i,y_i) - узлами интерполяции.

Задача интерполирования функции y(x) заключается в нахождении неизвестных коэффициентов a₀,a₁,…,a_m интерполяционного многочлена

. (16)

Для их определения требуется составить m+1=n уравнений. Такими уравнениями послужат условия (14) прохождения многочлена через каждую из точек таблицы:

(17)

Решив систему (17), можно найти числовые значения коэффициентов a₀,a₁,…,a_m и записать выражение (16) в конкретном виде. Это дает возможность приближённо вычислять значения функции y(x) в любых точках x, расположенных в области задания функции , то есть интерполировать.

Описанным способом получения интерполяционного многочлена пользуются очень редко. Чаще применяется запись этого же многочлена в форме Лагранжа:

(18)

В качестве примера запишем интерполяционный многочлен для функ­ции, заданной тремя точками x₁=2, y₁=10; x₂=4, y₂=7; x₃=5, y₃=9:

(19)

Функции , являющиеся коэффициентами при y_i, называются функциями формы. Они обладают следующими свойствами:

1. Каждая i-я функция формы равна единице в своем i-м узле и равна нулю в любом другом узле интерполяции.

2. Сумма всех n функций формы равна единице: (20)

3. При выбранном расположении абсцисс узлов интерполяции функции формы никак не связаны с функцией, заменяемой многочлена Лагранжа, и одинаковы для всего множества многочленов степени , проходящих через узлы с этими абсциссами.

Например, для любой тройки равноотстоящих узлов с абсциссам x₁=-h, x₂=0, x₃=h и произвольными ординатами определены одни и те же квадратичные функции формы:

(21)

а пара узлов x₁=0, x₂=h определяет линейные функции формы

(22)

На рис.2 показаны три квадратичные функции формы: .

Интерполяционный многочлен Лагранжа является линейной комбинацией функций формы. Каждая функция формы входит в многочлен со своим весом, задаваемым значением y_i интерполируемой функции в соответствующем узле.

Рис. 2.