Приложение 4

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

Приближенная замена функций является основой для получения расчетных формул многих численных методов и часто встречается в инженерных расчетах как самостоятельная проблема.

Задача заключается в следующем.

Известна некоторая функция y=f(x), которая может быть задана любым из трех способов:

• аналитически;

• графически;

• в виде таблицы.

Во всех случаях предполагается, что использование этой функции по каким-либо причинам затруднено, и поэтому желательно приближенно заменить эту сложную в употреблении функцию другой, заданной аналитически и простой в использовании.

Например, для вычисления определенного интеграла можно при определенных условиях, сложную функцию f(x) приближенно заменить линейной функцией, проходящей через точки f(a) и f(b). Тогда значение интеграла можно приближенно вычислить, как площадь трапеции с основаниями f(a), f(b) и высотой (b-a).

2.1. Формула Тейлора

Если функция f(x) задана аналитически, то очень часто ее приближенно заменяют степенным многочленом вида

(1)

Для этого выбирают точку С (центр разложения), вблизи которой исследуется поведение функции, и если функция непрерывна и имеет все производные в этой точке, то ее заменяют степенным многочленом по формуле Тейлора

(2)

где  - точка, лежащая между C и x.

Поскольку положение этой точки неизвестно, то точной замены функции f(x) степенным многочленом сделать нельзя. Приближенную замену делают, отбрасывая последний член суммы (2);

. (3)

Отброшенный член R называют остаточным членом:

(4)

Из формулы Тейлора следует, что при ограничениях, наложенных на функцию f(x), всегда найдется такая внутренняя точка интервала (C , x), вычислив в которой производную , и включив ее в остаточный член, можно получить строгое равенство

f(x)=Qm+R. (5)

Рассмотрим это на простом примере.

Пусть в формуле Тейлора, кроме остаточного члена, удерживается всего один член нулевой степени

(6)

Рис. 1.

Из рис.1 видно, что для получения величины f(x) необходимо к величине f(C) прибавить длину отрезка R1 , которая определяется так: . Если в точке провести касательную к кривой f(x), параллельную хорде, соединяющей точки f(C) и f(x₁), то тангенс угла наклона этой касательной можно вычислить как производную .

Следовательно, и ,

. (7)

Аналогичные построения можно выполнить и для вычисления функции в точке :

. (8)

Очевидно, с изменением x изменяется значение остаточного члена как за счет изменения (x-С), так и за счет изменения производной . Однако при малых отклонениях x от C можно приближенно считать, что производная не изменяется и остаточный член пропорционален обозначаемому буквой h отклонению x от С (h = x - C). Тогда формулу (6) можно записать в виде

(9)

где О(h) читается как "ошибка порядка h".

Аналогичные рассуждения проводят и для остаточных членов с производными высоких порядков. Остаточный член (4) оказывается пропорциональным и его кратко записывают как :

(10)

где читается как "ошибка порядка h в степени ".

В заключение приведем примеры приближенной замены функции степенным многочленом: вблизи точки x=С=0.

Последовательно находим

;

;

;

. (11)

Допуская ошибку , приближенно заменяем

, (12)

или более грубо с ошибкой

, (13)