Раздел 1. Элементы комбинаторики

Тема 1.1. Основные понятия комбинаторики Задание 3. Размещения, перестановки, сочетания с повторениями – 1 ч.

Цель: формирование умения определять тип комбинаторного объекта и рассчитывать количество выборок с повторениями заданного типа в заданных условиях.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

 3.1. Проанализируйте, когда используются размещения, перестановки и сочетания с повторениями. Как рассчитать их число?

Основные сведения из теории:

3.2. Заполните таблицу:

Размещения с повторениями	число размещений	упорядоченность выборки …
Перестановки с повторениями	число перестановок где т1+ т2+…+ mk = …	… упорядоченность выборки
Сочетания с повторениями	число сочетаний	… упорядоченность выборки

Примеры и упражнения:

3.3. Сколько различных трёхзначных номеров для автомобилей одной серии можно составить из нечётных цифр?

3.4. Для награждения 12 лучших спортсменов колледжа администрация подготовила 5 одинаковых мячей, 3 набора для бадминтона и 4 набора для тенниса. Сколькими способами этими подарками можно наградить 12 лучших спортсменов колледжа?

3.5. Дима решил на день рождения подруги сам составить и оформить красивый букет, в который могут входить только её любимые цветы: хризантемы, герберы и розы. Дима решил купить 7 цветов. Сколько вариантов подбора цветов для букета есть у Димы?

3.6. Сколькими способами можно расставить белые фигуры на первой линии шахматной доски (короля, ферзя, 2 коней, 2 ладьи, 2 слона)?

3.7. Сколькими способами Шереметьева Н.В. может поставить оценки на экзамене по теории вероятностей и математической статистике 30 студентам группы ИС1-31?

3.8. Три юноши и две девушки группы ИС1-41 подыскали для прохождения практики 7 организаций: «Дельта1», «Дельта2», «Дельта3», «Корунд1», «Корунд2», «Лидер1» и «Лидер2». Но в «Дельте» согласились взять только юношей, в «Корунде» - только девушек, а «Лидер» готов принять любых студентов независимо от пола. Сколько способов распределения 5 данных студентов на практику существует?

Методические указания по выполнению работы:

Иногда в выборках допускается повторение элементов, что является достаточно естественным (например, в телефонных и автомобильных номерах возможно использование одной цифры несколько раз).

Размещениями с повторениями называют упорядоченные выборки по т элементов из исходного множества п элементов, где некоторые из элементов могут оказаться одинаковыми.

Число размещений с повторениями обозначается и находится как

Пример 3.1. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1 и 2?

Решение. Примерами таких трехзначных чисел могут служить 111, 112, 221 и т.д.

Найдем п – число элементов исходного множества, п=2 (т.к. числа состоят только из цифр 1 и 2).

Найдем т – число элементов в каждой выборке, т=3 (т.к. составляются трехзначные числа).

Определяем, важен ли порядок элементов в каждой выборке. Числа 112 и 211 состоят из одних и тех же цифр, но эти числа различны, т.к. порядок цифр в них разный. Следовательно, порядок элементов в каждой выборке важен. Значит, мы имеем дело с размещениями, а поскольку цифры 1 и 2 в каждом трехзначном числе могут повторяться, то перед нами размещения с повторениями:

Ответ: из цифр 1 и 2 можно составить 8 трехзначных чисел.

Пусть в исходном множестве содержится п элементов, при этом первый элемент встречается т₁ раз, 2-й – т₂ раз, а k-й – m_k раз (т₁+ т₂+…+ m_k = п), то число перестановок с повторениями Р_{т1,т2,…,тk} находится следующим образом:

Пример 3.2. Сколько «слов» можно получить, переставляя буквы в слове «МАТЕМАТИКА»?

Решение. Исходное множество состоит из букв слова «МАТЕМАТИКА». Их ровно 10, следовательно п=10.

Заметим, что если бы все буквы были различны, то получили бы Р₁₀ новых «слов». Но буква «М» употребляется в «слове» 2 раза, «А» – 3 раза, «Т» – 2 раза, оставшиеся три буквы – по разу. Следовательно, т₁ = 2, т₂ = 3, т₃ = 2, т₄ = т₅ = т₆ = 1. В данном примере порядок в каждом наборе 10 букв важен, значит, мы имеем дело с размещениями всех 10 элементов или с перестановками с повторением.

Искомое число перестановок будет равно

Ответ: 151200 «слов» можно получить, переставляя буквы в слове «МАТЕМАТИКА».

Число сочетаний с повторениями из п элементов по т выражается через число сочетаний без повторений:

Пример 3.3. 8 студенток решили купить себе по одному пирожному. Они зашли в кафе, где в продаже имеются 5 сортов пирожных. Сколько различных заказов официантке могут сделать студентки?

Решение. Исходное множество содержит 5 элементов (идет выбор из 5 пирожных), следовательно п=5.

Так как каждая студентка заказывает себе по одному пирожному, то каждая выборка включает в себя 8 элементов (8 пирожных), т.е. т=8. Смотрим, важен ли порядок элементов в каждой выборке. Поскольку официантке важно лишь сколько пирожных какого вида она должна принести, а порядок пирожных в каждом заказе не важен, то мы имеем дело с сочетаниями. Т.к. пирожные в одном и том же заказе могут повторяться, то перед нами сочетания с повторениями.

Таким образом,

Ответ: студентки могут сделать 495 различных заказов.

Список литературы:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 1, §1.1, с. 19.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. - Глава 1, §1.8, с. 24 - 26.