2. Нахождение интервальной оценки вероятности события
Рассмотрим формулу для нахождения вероятности события Р(А), если число испытаний п гораздо больше 100. Пусть р = – частота события, рассчитанная по данным, полученным в ходе эксперимента, тогда искомое значение вероятности Р(А) с доверительной вероятностью α будет принадлежать промежутку (р-δ; р+δ), где
δ
– точность оценки, находится по
формуле:
,
п – объем выборки,
t – аргумент функции Лапласа, при котором , находится по таблице (приложение 2).
Алгоритм поиска интервальной оценки вероятности события с надежностью α можно представить в виде схемы:
Приложение2
t(
)
Пример 26.2. Из 500 случайным образом отобранных деталей оказалось 25 нестандартных. Найдите интервальную оценку вероятности события А – выбрать нестандартную деталь - с надежностью 0,95.
Решение. По условию α = 0,95, п = 500, т = 25.
Тогда р = , р = 25/500 = 0,05.
По схеме нахождения интервальной оценки вероятности события
α/2 = 0,95/2 = 0,475. По таблице значений функции Лапласа находим t=1,96.
Вычислим δ по формуле: .
.
Получаем
доверительный интервал
:
0,05 – 0,019 < Р(А)< 0,05 + 0,019
0,031 < Р(А)< 0,069.
Полученный результат означает, что с надежностью 0,95 неизвестная вероятность появления нестандартной детали принадлежит интервалу (0,031; 0,069).
Список литературы:
1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 3, §3.4-3.5, с. 197-212.
2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. - Глава 8, §8.1-8.4, с. 225-243.
Итоговое повторение
Цель: обобщение и систематизация знаний, полученных при изучении дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», расширение кругозора студентов в области приложения знаний по дисциплине, развитие творческих способностей студентов.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
П1. В газете «Окно» 8 страниц. Сколькими способами в ней можно разместить 4 фотографии, если на каждой страницы должно быть не более 1 фотографии?
П2. Одна и та же контрольная работа была проведена в трех параллельных группах. В первой группе из 30 студентов на «отлично» выполнили работу 3 человека, во второй из 25 – 5 человек, в третьей из 24 – 3 человека. Какова вероятность того, что при повторной проверке из наугад выбранной стопки выберут тетрадь студента, получившего «отлично»?
П3.
Два друга договорились сыграть в
настольный теннис 5 партий. Вероятность
выигрыша первого оценивается как
.
Составьте закон распределения числа
партий, выигранных первым игроком.
Найдите математическое ожидание и
дисперсию числа выигранных первым
игроком партий.
П4. Жильцы проанализировали количество сжигаемых в месяц киловатт по показаниям счетчика за электроэнергию в течение трех лет. Получились следующие данные:
потребляемое к-во энергии (кВатт) |
100-120 |
120-140 |
140-160 |
160-180 |
180-200 |
∑ |
число месяцев |
3 |
10 |
12 |
7 |
4 |
36 |
Найдите выборочную среднюю, постройте гистограмму частот.
П5. Ответьте на следующие вопросы:
Какими функциями можно задать непрерывную случайную величину? Какими свойствами они обладают?
Какие законы распределения НСВ существуют? Какой вид имеет функция плотности вероятности для каждого закона?
Как изменится вид кривой Гаусса для закона нормального распределения, если изменять поочередно параметры а и σ?
П6. Составьте кроссворд по дисциплине, включив в него изученные понятия, факты из истории теории вероятностей и математической статистики.
П7. Подберите литературу и оформите письменный доклад или создайте электронную презентацию по одой из тем:
«Теория вероятностей и области ее применения»;
«Теория вероятностей и моя будущая профессия»;
«Теория вероятностей – это интересно!»;
«Нормальное и показательное распределение вокруг нас».
Методические указания по выполнению работы:
Проанализируйте, к какому разделу теории вероятностей и математической статистики может быть отнесена каждая задача. Попробуйте самостоятельно найти алгоритм решения задач. Если это Вам не удается, воспользуйтесь следующими указаниями:
П1. Вспомните, какие основные понятия комбинаторики существуют (размещения, перестановки, сочетания). В чем их принципиальное отличие? Какое комбинаторное понятие применимо при решении данной задачи? При необходимости внимательно изучите методические указания к решению комбинаторных задач.
П2. Вспомните, какие основные приемы нахождения вероятности событий существуют (классическое определение вероятности, теоремы сложения, умножения вероятностей, метод графов, формулы полной вероятности и Байеса, формула Бернулли). Какую из них можно применить для решения данной задачи? Обратите внимание на наличие гипотез. При необходимости внимательно изучите методические указания к решению задач на формулу полной вероятности.
П3. Вспомните, как составлять закон распределения ДСВ (не забудьте выделить испытания и проанализировать, зависимые они или независимые). Идет ли в задаче речь о классических распределениях: биномиальном или аналогичном геометрическому? При необходимости внимательно изучите методические указания к решению задач на составление закона распределения ДСВ.
П4. Обратите внимание, дискретный или интервальный вариационный ряд представлен в условии задачи. Какова его геометрическая интерпретация и числовые характеристики. При необходимости внимательно изучите методические указания к решению задач по математической статистике.
П5. Внимательно изучите теоретический материал учебника или конспект лекций.
Список литературы:
1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с.
2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с.