Раздел 7. Основы математической статистики

Тема 7.1. Основы математической статистики Задание 26. Интервальное оценивание м(х) и вероятности события – 2 ч.

Цель: формирование умения рассчитывать доверительные интервалы с заданной надежностью для математического ожидания и вероятности события.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

26.1. Вспомните, какая оценка называется интервальной. Изучите алгоритмы нахождения интервальной оценки М[Х] при известной D[Х] нормального распределения и интервальной оценки вероятности события.

26.2. Исследовалось время безотказной работы 50 лазерных принтеров, выпускаемых фирмой. Из наблюдений известно, что среднее квадратичное отклонение времени безотказной работы  = 16 ч. По результатам исследований получено среднее время безотказной работы =1000 ч. Постройте доверительный интервал с надежностью 0,9 для среднего времени безотказной работы.

26.3. Из 225 тестируемых в экстремальных условиях компьютеров 10 вышли из строя. Найдите интервальную оценку вероятности события А – при тестировании компьютер выйдет из стоя - с надежностью 0,99.

Методические указания по выполнению работы:

Интервальной называют такую оценку параметра, которая определяется двумя числами – концами интервала.

При нахождении интервальной оценки удобно использовать следующие алгоритмы:

1. Нахождение интервальной оценки математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии (известном среднеквадратическом отклонении)

Пусть – выборочное среднее, рассчитанное по данным, полученным в ходе эксперимента, тогда искомое значение математического ожидания а с доверительной вероятностью α будет принадлежать промежутку ( -δ; +δ):

а

-δ +δ х

δ – точность оценки, находится по формуле: , где

п – объем выборки,

σ – среднеквадратическое отклонение (задано в условии задачи),

t – аргумент функции Лапласа, при котором , находится по таблице (приложение 2).

Алгоритм поиска доверительного интервала при заданных значениях х^*, σ, надежности α можно представить в виде схемы:

^{Прилож.2} t ( )

Пример 26.1. При контрольном испытании 100 батареек был определен средний срок службы батареек при максимальной нагрузке = 20 часов. Считая, что срок службы батареек распределен нормально с σ = 5 часов, найдите доверительный интервал для оценки с надежностью 0,9 неизвестного математического ожидания а.

Решение. Требуется найти доверительный интервал .

Поскольку надежность α = 0,9, то = 0,45.

Найдем t из соотношения Ф(t) = 0,45. По таблице приложения 2 находим t = 1,65.

По формуле , где t = 1,65, σ = 5 часов, п = 100 (число испытаний – испытывалось 100 батареек), найдем δ: (часов).

Получаем доверительный интервал ;

20 – 0,825 < a < 20 + 0,825;

19,175 < a < 20,825.

Ответ: с надежностью 0,9 неизвестное математическое ожидание а

принадлежит интервалу (19,175; 20,825).