Раздел 5. Непрерывные случайные величины (нсв)

Тема 5.3. Законы распределения нсв Задание 22. Нахождение числовых характеристик для равномерно и показательно распределенной нсв – 1,5 ч.

Цель: формирование умения находить числовые характеристики для равномерно и показательно распределенной НСВ.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

22.1. Изучите, какими функциями задаются равномерно и показательно распределённые НСВ. Разберите, какие формулы существуют для расчёта числовых характеристик данных НСВ.

22.2. Непрерывная случайная величина Х распределена равномерно на отрезке

1) [3; 5]; 2) [-1; 7]; 3) [-6; -5]. Найдите:

а) функцию плотности вероятности f(x) и постройте её график;

б) числовые характеристики НСВ: М(Х), D(Х), , Ме(Х);

в) интегральную функцию распределения и постройте её график;

г) вероятность попадания значений НСВ в интервал

22.2.1) [3; 4];

22.2.2) [0; 4];

22.2.3) [-5,5; -5].

3.

1.

22.3. НСВ задана графически:

2.

Определите:

а) вид распределения НСВ;

б) функцию плотности вероятности f(x);

в) числовые характеристики НСВ.

22.4. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону с плотностью вероятности

1) ; 2) .

Найдите:

а) параметр λ и постройте график функции плотности вероятности f(x);

б) числовые характеристики НСВ: М(Х), D(Х), ;

в) интегральную функцию распределения и постройте её график:

г) вероятность попадания значений НСВ в интервал [0; 1].

22.5. Время безотказной работы компьютера распределено по показательному закону с надёжностью R(t). Найдите вероятность того, что компьютер проработает t часов, если

а) , t = 2 000 часов;

б) , t = 4 000 часов.

22.6. Вращаем рулетку в интеллектуальном казино. Случайная величина Х – угол, образованный стрелкой и сектором «зеро». Определите, на каком промежутке распределена случайная величина Х. Составьте функцию плотности вероятности f(х), найдите вероятность того, что стрелка отклонится от сектора «зеро» не более чем на 90^о в обе стороны.

22.7. Холодильник имеет постоянную интенсивность отказа, равную λ = 10^-5 откл/час. Какова вероятность того, что холодильник откажет после гарантийного срока 20 000 часов?

Методические указания по выполнению работы:

При решении задач данной темы определите вид распределения НСВ и в зависимости от этого (равномерно или показательно распределённая НСВ) используйте соответствующие формулы. Они приведены в примерах 22.1 и 22.2.

Пример 22.1. Непрерывная случайная величина Х распределена равномерно на отрезке [0; 10]. Найдите:

а) функцию плотности вероятности f(x) и постройте её график;

б) числовые характеристики НСВ: М(Х), D(Х), , Ме(Х);

в) интегральную функцию распределения и постройте её график;

г) вероятность попадания значений НСВ в интервал [3; 4];

Решение:

№	Теоретический материал для равномерного распределения	Пример
1	Распределение вероятностей называется равномерным на промежутке [a;b], если оно задается функцией плотности вероятности вида: .	Поскольку НСВ Х распределена равномерно на отрезке [0; 10], то a=0, b=10, и функция плотности вероятности будет иметь вид: .
2	График функции плотности вероятности для равномерного распределения имеет вид:
3	Математическое ожидание
4	Дисперсия
5	Среднеквадратическое отклонение
6	Медиана
7	Интегральная функция распределения для равномерного распределения имеет вид:	F(х)=
8	График интегральной функции распределения имеет вид:
9	Вероятность попадания значений ДСВ в заданный интервал определяется как	= =

Пример 22.2. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону с плотностью вероятности .

Найдите:

а) параметр λ и постройте график функции плотности вероятности f(x);

б) числовые характеристики НСВ: М(Х), D(Х), ;

в) интегральную функцию распределения и постройте её график;

г) вероятность попадания значений НСВ в интервал [3; 4];

Решение:

№	Теоретический материал для показательного распределения	Пример
1	Распределение вероятностей называется показательным, если оно задается функцией плотности вероятности вида: где λ – параметр.	Данная случайная величина распределена по показательному закону с параметром λ = 2.
2	График функции плотности вероятности для показательного распределения имеет вид:
3	Математическое ожидание
4	Дисперсия
5	Среднеквадратическое отклонение
6	Интегральная функция распределения для показательного распределения имеет вид:
7	График интегральной функции распределения имеет вид:
8	Вероятность попадания значений ДСВ в заданный интервал определяется как	= = = 0,0025-0,0003 = 0,0022

Пример 22.3. Длительность безотказной работы элемента распределена по показательному закону при t > 0: R(t) = . Найдите вероятность того, что за время t = 40 ч

а) элемент не откажет;

б) элемент выйдет из строя.

Решение. Условие задачи указывает на показательный закон надежности для времени t = 40 ч.

Функция надёжности, определяющая вероятность безотказной работы за время t, имеет вид:

R(t) = , где λ – интенсивность отказов.

То есть вероятность безотказной работы элемента за 40 ч равна:

.

Поэтому вероятность противоположного события – отказа или выхода из строя элемента за 40 ч – .

Ответ: а) вероятность безотказной работы элемента равна 0,45;

б) вероятность выхода элемента из строя – 0,55.

Список литературы:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 2, §2.7-2.8, с. 138-146.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. - Глава 2, §2.7, с. 91-96.