Раздел 5. Непрерывные случайные величины (нсв)

Тема 5.1. Нсв: функции распределения Задание 20. Вычисление вероятностей, запись функции плотности и интегральной функции распре­деления дсв – 2 ч.

Цель: формирование умения находить функцию плотности по интегральной функции распределения НСВ и наоборот; вычислять вероятности для НСВ.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

20.1. Разберите, какой функцией задаётся НСВ и каковы её основные свойства. Проанализируйте, как связаны интегральная функция распределения и функция плотности вероятности для НСВ.

20.2. Установите, какие из функций могут задавать f(x), какие - F(x) для НСВ и заполните таблицу:

Может задавать f(x)	Может задавать F(x)	Не задаёт ни f(x), ни F(x)

Г

В

Б

А

Ж

З

Е

Д

20.3. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения

1) 2) 3)

а) найдите функцию плотности вероятности f(x),

б) проверьте корректность задания функции плотности вероятности f(x);

в) найдите вероятность попадания случайной величины в интервал (0; 1);

г) постройте график функции плотности вероятности f(x), на нем отметьте вероятность попадания случайной величины в интервал (0; 1);

д) постройте график интегральной функции распределения F(x).

20.4. Случайная величина Х задана функцией плотности вероятности

1) 2)

а) проверьте корректность задания функции плотности вероятности f(x);

б) найдите интегральную функцию распределения,

в) найдите вероятность попадания случайной величины в интервал

20.3.1) (1; 2,5);

20.3.2)

г) постройте график функции плотности вероятности f(x), на нем отметьте вероятность попадания случайной величины в заданный интервал;

д) постройте график интегральной функции распределения F(x).

20.5. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения

а) найдите функцию плотности вероятности f(x),

б) проверьте корректность задания функции плотности вероятности f(x);

в) найдите вероятность попадания случайной величины в интервал (0; 2).

20.6. Интегральная функция распределения задана выражением: F(х)= . Найдите коэффициент а, вероятность попадания в интервал (π/6; π/3), постройте график F(х).

Методические указания по выполнению работы:

Для решения задач нам потребуется знание следующего материала:

1. Интегральная функция распределения F(x) и функция плотности вероятности f(x) связаны соотношениями: f(x) = F’(x), F(x) = .

Функция плотности вероятности f(x) задана корректно, если выполняется равенство:

2. Вероятность того, что случайная величина Х принадлежит интервалу (а,в), находится по формулам: P(а<X < в) = F(в) - F(а) или P(а<X < в)= .

Пример 20.1. Интегральная функция распределения задана выражением: F(х)= .

1. найдите f(x),

2. докажите корректность задания НСВ,

3. вычислите Р(0,6 1)

4. постройте графики F(х) и f(x), отметьте на графиках вероятность, найденную в пункте (в).

Решение.

1. Для нахождения f(x) воспользуемся формулой: f(x) = F´(x), тогда

f(x) = 0’ = 0 при х<0,

f(x) =(х²)’ = 2х при 0≤ х<1,

f(x) = 1’ = 0 при х≥1.

Получили, что функцию f(x) можно представить в виде:

.

2. Проверим корректность задания НСВ. Очевидно, что f(x) ≥ 0; проверим выполнение условия . В силу свойств определенного интеграла, исходный интеграл можно представить как сумму трех интегралов:

f(x) задана корректно.

3. Вычислим Р(0,6 1). Для этого воспользуемся свойствами интегральной функции F(x): , тогда а=0,2, b=1.

Р(0,6 1) = F(1) - F(0,6) = 1² – 0,6² = 1 – 0,36 = 0,64.

4. Построим графики F(х) и f(x):

Видим, что график интегральной функции распределения НСВ непрерывен.

Вероятность того, что случайная величина принимает значения от 0,6 до 1, равна площади фигуры S.

Пример 20.2. По известной функции плотности вероятности f(x) найдите интегральную функцию распределения F(х), если .

Решение.

Воспользуемся формулой:

Поскольку функция у = f(х) состоит из трех частей, для каждой части будем применять данную формулу:

1. при х < -π/2

2. при -π/2 ≤ х <0

= sinx + 1

3) при х ≥ 0

= 1

Получили, что F(х) имеет вид: F(х)= , что согласуется с определением и свойствами F(х).

Список литературы:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 2, §2.5.1, с. 130-132.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. - Глава 2, §2.4, с. 69-73.