Раздел 5. Непрерывные случайные величины (нсв)

Тема 5.1. Нсв: функции распределения Задание 19. Геометрическое определение вероятности – 1 ч.

Цель: формирование умения применять формулу геометрического определения вероятностей.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

19.1. Разберите, в чем заключается геометрическое определение вероятности события, в каких случаях оно применимо.

19.2. На плоскости нанесена сетка квадратов со стороной 8 см. Найдите вероятность того, что брошенный на плоскость круг радиуса 1 см не пересечет ни одной стороны квадрата. (Указание: продумайте, где может находиться центр круга по отношению к каждому квадрату).

19.3. Точку бросают наугад в круг х² + у² ≤ 1. Какова вероятность того, что а) расстояние от точки до центра круга превысит 0,5; б) абсцисса точки будет не больше 0,5; в) точка окажется вне квадрата, вписанного в данный круг.

19.4. Два студента договорились о встрече в колледже в случайный момент времени с 12.00 до 13.00. Терпения друзей хватает только на 15 минут. Какова вероятность того, что встреча состоится?

Методические указания по выполнению работы:

При решении задач на геометрическую вероятность:

1. Выделите испытание.

2. Опишите случайное событие, вероятность которого необходимо найти по условию задачи.

3. Определите, можно ли использовать формулу геометрической вероятности: каждый исход должен быть представим в виде точки на прямой, на плоскости или в пространстве. Общее число всех возможных исходов должно быть бесконечно.

4. Выполните чертеж, на котором обозначьте пространство всех возможных исходов , и область исходов, благоприятствующих наступлению событию А.

5. Выберите соответствующую формулу для расчета в зависимости от того, какие области вы построили, и найдите вероятность события А.

При решении задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события А, к мере всей области исходов Ω:

На числовой прямой «мера» - длина;

на плоскости «мера» - площадь;

в пространстве «мера» - объем.

Пример 19.1. На острове пираты зарыли клад. Искатели сокровищ точно знают, что клад надо искать на этом острове, но не знают, в каком месте зарыт клад. Они определили место для поисков в форме квадрата со стороной 10 метров. Какова вероятность того, что они найдут клад, если площадь острова 1000 м²?

Решение. 1. Испытание – поиск клада на острове площадью 1000 м².

2. Событие А – найти клад на выбранном участке в форме квадрата со стороной 10 метров.

3 . Каждый исход (место расположения клада) можно рассматривать в виде точки на плоскости, следовательно, геометрическое определение вероятности применимо.

4. Выполним чертеж. Пространство элементарных исходов – область Ω произвольной формы, область исходов, благоприятствующих событию А – квадрат со стороной 10 м.

5. Поскольку мы работаем на плоскости, мерой является площадь, и Р(А) = ; S_Ω = 1000 м², S_А = 100 м² (площадь квадрата).

Тогда Р(А) = 100/1000 = 0,1.

Список литературы:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 1, §1.5, с. 32-33.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. - Глава 1, §1.10, с. 31-33.