Раздел 4. Дискретные случайные величины

Тема 4.3. Законы распределения дсв Задание 16. Запись распределения и вычисление характеристик для биномиальной дсв – 1 ч.

Цель: формирование умения составлять закон распределения и вычислять числовые характеристики биномиальной ДСВ.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

 16.1. Изучите особенности биномиально распределенной ДСВ.

16.2. Ученику в начале урока предлагается небольшая тестовая работа, состоящая из 5 заданий. В каждом задании нужно ответить только «да» или «нет». Составьте закон распределения числа вопросов, на которые ученик может ответить правильно, если он отвечает наугад. Найдите числовые характеристики ДСВ.

16.3. Кандидата Петрова перед выборами мэра города поддерживают 20% избирателей. На теледебаты пригласили четырёх человек – жителей города. Составьте закон и интегральную функцию распределения числа поддерживающих Петрова жителей города, участвующих в теледебатах. Найдите числовые характеристики ДСВ.

16.4. Докажите разумность или опровергните идею мартингальной системы, заключающейся в удвоении ставки при проигрыше. (Предположим, что мы играем в рулетку и всегда ставим на красное. Сначала поставим один доллар. Если выигрываем, то прекращаем игру; при проигрыше ставим в следующий раз 2 доллара и т.д.)

Методические указания по выполнению работы:

При выборе закона распределения, применяемого при решении конкретной задачи, удобно воспользоваться следующей схемой:

Пример 16.1. Студент, работая в Internet, по системе поиска нашел ссылки на 3 сайта, в каждом из которых может быть полезная для него информация с вероятностью 0,6. Составьте закон распределения числа сайтов с полезной для студента информацией. На скольких в среднем сайтах он найдет полезную для себя информацию? Найдите дисперсию и среднеквадратичное отклонение.

Решение. Испытание – поиск информации на 3-х сайтах.

Случайная величина Х - число сайтов с полезной для студента информацией. Она принимает значения 0, 1, 2 или 3.

Имеем серию повторных независимых испытаний, число испытаний задано (n = 3). Следовательно, перед нами биномиальное распределение. Вероятность успеха в одном испытании р = 0,6, вероятность неудачи q = 1 – 0,6 = 0,4.

По формуле Бернулли , тогда

;

;

;

.

Искомый закон распределения можно записать с помощью таблицы:

Х	0	1	2	3
Р	0,064	0,288	0,432	0,216

Проверим сумму вероятностей в нижней строке: 0,064+0,288+0,432+0,216=1. Следовательно, закон распределения составлен корректно.

Найдем числовые характеристики биномиально распределенной случайной величины:

М(Х) = 3·0,6 = 1,8, т.е. в среднем студент найдет полезную информацию на двух сайтах.

D(Х) = 3·0,6·0,4 = 0,72.

σ(Х) = .

Ответ: М(Х) = 1,8, D(Х) = 0,72, σ(Х) .

Список литературы:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 2, §2.2, с. 118-123.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. - Глава 2, §2.7, с. 85-86.