Раздел 4. Дискретные случайные величины (дсв)

Тема 4.1. Дсв: закон и функция распределения Задание 14. Закон распределения и интегральная функция дсв – 1 ч.

Цель: формирование умения составлять закон и интегральную функцию распределения ДСВ.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

 14.1. Выучите, что называют случайной величиной, какая случайная величина называется дискретной, чем задается ДСВ. Разберите, что называют интегральной функцией распределения случайной величины и какими свойствами она обладает.

14.2. Составьте закон распределения количества делителей натурального числа, выбранного наугад из чисел от 1 до 10.

14.3. Преподаватель предлагает студенту Петрову решить две задачи. Вероятность правильно решить первую задачу для Петрова оценивается преподавателем как 0,7, вторую – 0,5. Составьте закон распределения числа задач, правильно решённых студентом Петровым.

14.4. В группе туристов из 12 человек умеют готовить 8. Руководитель туристической группы назначает двух дежурных. Составьте закон распределения числа человек среди выбранных дежурных, которые умеют готовить.

14.5. Составьте интегральную функцию распределения и постройте ее график для следующей случайной величины:

а)	X	-3	1	4	б)	X	-1	1	2	4	6
	P	0.6	0.3	?		P	0,18	0,27	0,12	0,32	?

14.6. Найдите закон и интегральную функцию распределения для числа выпадения «герба» при трех подбрасываниях монеты.

14.7. Составьте закон и интегральную функцию распределения для суммы очков, выпадающих на двух игральных костях.

14.8. Рассматривается работа трех независимо работающих технических устройств (ТУ). Вероятность нормальной работы первого ТУ равна 0,8, второго – 0,6, третьего – 0,5. Составьте закон и интегральную функцию распределения для числа нормально работающих ТУ.

Методические указания по выполнению работы:

При решении задач на составление закона и интегральной функции распределения ДСВ:

1. Выделите испытание.

2. Опишите случайную величину Х, закон распределения которой необходимо составить по условию задачи.

3. Для заданной случайной величины начните составлять таблицу (закон распределения), выписав её возможные значения в верхней строке.

4. Найдите вероятность каждого значения ДСВ, используя ранее изученные методы, и занесите их во вторую строку закона распределения.

5. Проверьте корректность задания ДСВ: сумма вероятностей в нижней строке должна быть равна 1.

При решении задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Случайная величина называется дискретной, если в результате опыта она принимает числовые значения, которые можно перечислить, или они эквивалентны счетному множеству.

Соответствие между возможными значениями случайной величины и ее вероятностями называют законом распределения случайной величины и записывают в виде таблицы:

Х	х1	х2	…	хn	…	
Р	p1	p2	…	pn	…	1

Интегральной функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение, меньшее х:

F(x) = P(X < x), .

Пример 14.1. В стопке лежат 10 тетрадей с одинаковой обложкой, 4 из которых в линейку, остальные – в клетку. Саша наугад вынимает 2 тетради. Составьте закон распределения числа выбранных тетрадей в клетку.

Решение. 1. Испытание – выбор двух тетрадей из 10 (6 в клетку, 4 в линейку).

2. Случайная величина Х - число выбранных тетрадей в клетку.

3. Выделим возможные значения случайной величины Х: 0, 1, 2.

4. Для нахождения вероятности каждого исхода воспользуемся методом графов:

К

2

К

1

Л

Х

1

К

0

Л

Л

На рёбрах графа, ведущих к случайной величине Х, расставляем значения, которые принимает случайная величина при каждом исходе: выбрано 2 тетради в клетку (x₁=2), одна тетрадь в клетку (x₂ = 1), ни одной тетради в клетку (x₃ = 0).

С помощью графа найдем вероятности, с которыми случайная величина принимает то или иное числовое значение:

Р(Х = 2) = , Р(Х = 1) = , Р(Х = 0) = .

Искомый закон распределения запишем в виде таблицы:

Х	0	1	2
Р

5. Проверим сумму вероятностей в нижней строке: . Следовательно, закон распределения составлен корректно.

Пример 14.2. Составьте интегральную функцию распределения и постройте ее график для следующей случайной величины:

X	-2	-1	0	3
P	0,2	0,4	0,3	0,1

Решение.

Список литературы:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 2, §2.1.1-2.1.2, с. 102-106.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. - Глава 2, §2.1-2.3, с. 60-68.