Раздел 3. Основы теории вероятностей

Тема 3.3. Схема Бернулли Задание 13. Приближённые формулы в схеме Бернулли – 1 ч.

Цель: формирование умения находить вероятности событий с использованием формулы Бернулли, локальной и интегральной теорем Муавра-Лапласа.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

13.1. Изучите, когда применяют приближённые формулы в схеме Бернулли. Проанализируйте, в чём отличие интегральной и локальной теорем Муавра-Лапласа.

13.2. ДОМАШНЯЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

Задание 1: Садоводом посеяно 3 зерна с процентом всхожести р. Найдите вероятность того, что взойдёт k зёрен.

Задание 2: На опытном участке посеяно п зёрен с процентом всхожести р. Найдите вероятность того, что

1. число взошедших зёрен будет равно т;

2. число взошедших зёрен будет колебаться между т₁ и т₂.

№ варианта соответствует Вашему номеру по списку в журнале учебной группы

№ вар.	п	р(%)	k	т	т1	т2
1	600	90%	0	545	525	550
2	590	95%	0	555	550	570
3	580	80%	0	465	460	480
4	570	85%	0	490	480	500
5	560	90%	1	500	490	510
6	550	95%	1	520	510	530
7	540	80%	1	430	420	440
8	530	85%	1	455	450	470
9	520	90%	2	465	460	480
10	510	95%	2	480	470	490
11	500	80%	2	410	390	420
12	490	85%	2	415	400	420
13	480	90%	3	430	420	440
14	470	95%	3	450	440	460
15	460	80%	3	360	350	370
16	450	85%	3	380	370	390
17	440	90%	0	400	390	410
18	430	95%	0	405	400	420
19	420	80%	0	340	330	350
20	410	85%	0	350	340	360
21	400	90%	1	365	350	380
22	390	95%	1	375	370	380
23	380	80%	1	300	290	310
24	370	85%	1	310	300	320
25	360	90%	2	320	310	330
26	350	95%	2	330	320	340
27	340	80%	2	270	260	280
28	330	85%	2	280	270	300
29	320	90%	3	290	280	300
30	310	95%	3	295	280	300
31	300	80%	3	245	220	250
32	290	85%	3	250	240	260

Методические указания по выполнению работы:

Домашняя контрольная работа выполняется в тетради для практических работ. Все расчеты следует выполнять с применением калькулятора или персонального компьютера с точностью 4 знака после запятой. В тетради необходимо прописать концепцию схемы Бернулли, все расчеты и используемые формулы. Значения функций Гаусса и Лапласа берутся из таблиц приложений 1 и 2.

• Прежде чем приступать к расчётам проанализируйте, рассматривается ли в задаче серия повторных независимых испытаний. Если да, то выделите их число - n испытаний.

• Выпишите случайные событие А и В, вероятность которых необходимо найти в заданиях 1 и 2.

• Определите, что для событий А и В будет являться успехом, а что неудачей при одном испытании.

• Найдите вероятность успеха p и вероятность неудачи q в одном испытании.

• Если число испытаний п невелико, то примените формулу Бернулли (задание 1). Если при выполнении задания 1 возникают сложности, обратитесь к методическим указаниям по выполнению практической работы №12 и разобранному примеру.

• Если число испытаний п достаточно велико и то примените приближённые формулы (задание 2).

Если в задаче требуется определить, что интересующее нас событие появится в п испытаниях ровно т раз, то искомая вероятность находится по локальной теореме Муавра-Лапласа: где .

Функция называется функцией Гаусса. Значения функции Гаусса помещены в специальных таблицах и приведены в приложении 1.

Важно, что т.е. - четная функция.

Если необходимо вычислить вероятность того, что интересующее нас событие появится в п испытаниях от т₁ до т₂ раз, то применяют интегральную теорему Муавра- Лапласа:

где ,

Функция Ф(х) – функция Лапласа, таблица значений которой приведена в приложении 2.

Функция Ф(х) – нечетная, т.е. Ф(-х) = - Ф(х).

Пример 13.1. Вероятность того, что один компьютер не выйдет из строя в течение года, равна 0,8. Определите вероятность того, что из имеющихся в колледже 400 компьютеров

а) 315 будут в рабочем состоянии в течение года;

б) не потребуют ремонта от 300 до 340 компьютеров.

Решение. 1. Эксперимент заключается в проведении 400 повторных независимых испытаний с постоянной вероятностью в каждом. Следовательно, применима схема Бернулли, причём п = 400.

Будем искать вероятность события А - 315 ПК будут в рабочем состоянии в течение года

Введём вспомогательное событие А₁ - один ПК будет в рабочем состоянии в течение года.

Для А₁ р = 0,8, q = 0,2.

2. Поскольку п достаточно велико, проверим, выполняется ли равенство :

npq = 400·0,8·0,2 = 64 > 10, следовательно, локальная и интегральная теоремы применимы.

3. а) Используем локальную теорему Муавра-Лапласа при т = 315.

Найдем значение х:

Найдем В силу того, что по таблице значений функции Гаусса находим φ(0,625) ≈ φ(0,63) = 0,3271.

По теореме Муавра-Лапласа Р(А) =

Итак, вероятность того, что из имеющихся в колледже 400 компьютеров ровно 315 будут в рабочем состоянии в течение года, равна 0,0409.

б) По условию задачи т₁ = 300, т₂ = 340. Найдём вероятность события В - не потребуют ремонта от 300 до 340 компьютеров

Для вычисления Р(В) используем интегральную теорему Муавра-Лапласа.

Найдем значения х₁ и х₂:

= ;

= .

Найдем по таблицам значение функции Лапласа Ф(х). Т.к. Ф(-х) = - Ф(х), Ф(-2,5) = - Ф(2,5), Ф(2,5) = 0,4938. Тогда

Р(В) =

Итак, вероятность того, что в течение года из 400 компьютеров не потребуют ремонта от 300 до 340 компьютеров, равна 0,9876.

Ответ: Р(А) = 0,0409; Р(В) = 0,9876.

Список литературы:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 1, §1.13, с. 70-73.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. - Глава 1, §1.21, с. 54-58.