Раздел 3. Основы теории вероятностей

Тема 3.1. Случайные события. Понятие вероятности события Задание 9. Вычисление вероятностей событий методом графов – 1,5 ч.

Цель: формирование умения применять метод графов для вычисления вероятностей событий.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

 9.1. Повторите классическое определение вероятности события. Изучите материал о применимости метода графов к решению вероятностных задач.

Основные сведения из теории:

9.2. Закончите высказывания:

а) Наглядной интерпретацией проводимого испытания является …

б) На рёбрах графа проставляется … каждого исхода.

в) Граф обладает свойствами:

• сумма вероятностей на рёбрах графа, исходящих из одной вершины, равна…

• вероятность попадания из начальной вершины графа в конечную (вероятность исхода) можно вычислить, … вероятности, встречающиеся на ребрах графа;

• если нужно вычислить вероятность события, которому благоприятствует несколько исходов, то вероятности этих исходов ….

Примеры и упражнения:

9.3. В подгруппе 12 студентов, среди которых 3 отличника. Наудачу отбирают двух студентов. Найдите вероятность того, что среди отобранных студентов а) оба отличника; б) оба не отличника; в) ровно один отличник; г) хотя бы один отличник.

9.4. В группе ИС1-21 есть добрая традиция: приносить в свой день рождения в колледж конфеты и угощать всех студентов и преподавателей. Первого – по старшинству – преподавателя. Сегодня День Рождения у Миши. Он купил 35 конфет «Белочка» и 30 «Мишка косолапый» и положил в один пакет. Наталье Владимировне было предложено взять наугад две конфеты. Какова вероятность того, что ей достанутся а) две «Белочки»; б) два «Мишки»; в) разные конфеты; г) хотя бы одна «Белочка».

 9.5. (задача Гюйгенса). В урне 2 белых и 4 черных шара. Один азартный человек держит пари с другим, что среди вынутых 3 шаров будет ровно один белый. В каком отношении находятся шансы спорящих?

9.6. Действующие лица этой истории: звездочет, властелин, палач.

Властелин. Звездочет! Твои последние предсказания об ожидающих нас несчастьях опять не сбылись! Ты не способен читать книгу звезд. За свои ложные предсказания ты будешь казнен!

Звездочет. О, мудрый и справедливый повелитель! Помилуй меня! Язык звезд сложен и, тем не менее, иногда я делал правильные предсказания!

Властелин. В память о твоих заслугах, я даю тебе последний шанс. Вот тебе два черных и два белых шара. Ты должен их распределить по двум урнам.

Палач. Я выберу наугад одну из урн и вытащу из нее наугад один шар. Если шар будет черный, то тебя ожидает казнь. Если шар будет белый, то ты будешь помилован.

Звездочет. Дорогие студенты!!! Помогите! Умоляю – на Вас вся моя надежда! Каким образом я должен разместить шары в урнах, чтобы обеспечить себе максимальную возможность спастись? Переберите все варианты и оцените все вероятности. Да поможет Вам ГРАФ!

Методические указания по выполнению работы:

Облегчить решение многих вероятностных задач позволяет метод графов, делающий это решение наглядным и доступным.

При решении задач методом графов нужно:

1. построить дерево исходов;

2. на каждом ребре графа проставить вероятность соответствующего исхода;

3. при подсчете вероятностей использовать следующие правила:

• сумма вероятностей на ребрах графа, исходящих из одной вершины, должна быть равна 1;

• вероятность попадания из начальной вершины графа в конечную (вероятность исхода) можно вычислить, перемножая вероятности, встречающиеся на ребрах графа;

• если нужно вычислить вероятность события, которому благоприятствует несколько исходов, то вероятности этих исходов складываются.

Пример 9.1. В корзине лежит 2 белых и 4 черных шара. Из нее случайным образом извлекают 2 шара. Какова вероятность того, что

1. оба шара белые (событие А);

2. оба шара черные (событие В);

3. шары разного цвета (событие С);

4. шары одного цвета (событие D).

Решение. Испытание – выбор двух шаров из корзины, содержащей 2 белых и 4 черных шара. Составим вероятностное дерево исходов.

1-й шар	2-й шар	исходы	вероятность
			=Р(А) + =Р(С) = Р(В)

Расставим вероятности на ребрах графа. При извлечении первого шара вероятность достать белый шар равна (в корзине из 6 шаров 2 белых), а черный - (в корзине из 6 шаров 4 черных).

Когда мы извлекаем второй шар, в корзине уже осталось 5 шаров. Если первый шар был белый, то в корзине осталось 4 черных и 1 белый шар, следовательно, вероятность достать белый шар равна , а черный - . Если первым был извлечен черный шар, то в корзине осталось 3 черных и 2 белых шара, следовательно, вероятность достать белый шар равна , черный - .

Проверим, верно ли мы расставили вероятности. Сумма вероятностей на ребрах графа, исходящих из одной вершины, равна 1, следовательно, все сделали верно.

В колонке «исходы» получили все возможные исходы данного испытания. Для вычисления вероятности каждого исхода, необходимо перемножить вероятности на ветвях графа.

По графу легко определить вероятности событий А (извлечь 2 белых шара) и В (извлечь 2 черных шара). Для нахождения вероятности события С (извлечь шары разного цвета) необходимо сложить вероятности второго и третьего исходов. Для нахождения вероятности события D (извлечь шары одного цвета) необходимо сложить вероятности первого и четвертого исходов: .

Список литературы:

1. Афанасьев В.В. Введение в теорию вероятностей с помощью графов / В.В.Афанасьев // Математика. – 1999. - №35. – С.8-12. – («Приложение к газете 1 сентября».)