Раздел 3. Основы теории вероятностей

Тема 3.1. Случайные события. Понятие вероятности события Задание 8. Вычисление вероятностей событий по классической формуле определения вероятности – 1,5 ч.

Цель: формирование умения применять классическое определение и формулы комбинаторики для вычисления вероятностей событий.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

 8.1. Выучите классическое определение вероятности события. Изучите, какими свойствами обладает вероятность события. Повторите известные вам элементы комбинаторики.

Основные сведения из теории:

8.2. Закончите высказывания:

а) Случайное событие – событие, которое …

б) Вероятностью события называют отношение числа исходов … к …

в) Вероятность события – число из промежутка … Вероятность достоверного события равна …, вероятность невозможного события - ….

Примеры и упражнения:

8.3.В году 365 дней. Наугад выбирается один из листков отрывного календаря. Найдите вероятность того, что число на листке равно 30.

8.4. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 7 прыгунов из Германии, 8 из России и 2 прыгуна из Мексики. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым будет выступать прыгун из России.

8.5. Слово «спаниель» составлено из букв разрезной азбуки. Наудачу извлекают карточки и складывают их друг за другом в порядке появления. Какова вероятность получить слово

а) «лес», если извлекают три карточки;

б) «апельсин», если извлекают все карточки?

8.6. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня, лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найдите вероятность того, что набраны нужные цифры.

8.7. В подгруппе 12 студентов, среди которых 3 отличника. Наудачу отбирают двух студентов. Найдите вероятность того, что среди отобранных студентов а) оба отличника; б) оба не отличника; в) ровно один отличник; г) хотя бы один отличник.

8.8. На кафедре работает 12 преподавателей. С какой вероятностью дни рождения каждого из них придутся на разные месяцы года?

Методические указания по выполнению работы:

При решении задач необходимо знание классической формулы вероятности события:

Вероятностью события А называют отношение числа исходов, благоприятствующих событию А (m), к числу всех несовместных равновозможных исходов данного испытания (n).

Эта формула носит название классического определения вероятности.

Свойства классической вероятности:

1. Если событие А – невозможное, то Р(А) = 0.

2. Если событие А – достоверное, то Р(А) = 1.

3. Вероятность любого события 0 ≤ Р(А) ≤ 1.

При решении каждой вероятностной задачи выделите:

1. Каково испытание – комплекс условий, результатом которого является появление или непоявление события.

2. Выпишите случайное событие, вероятность которого необходимо найти по условию задачи.

3. По формуле классического определения вероятности найдите вероятность данного события (определите значение параметров п и т).

Пример 8.1. Игральную кость подбрасывают один раз. Найдите вероятности следующих событий:

1. А – появление «6»;

2. В – появление четного числа очков;

3. С – появления не менее 5 очков.

Решение: При решении будем пользоваться формулой: .

Испытание – подбрасывание 1 раз игральной кости. Опыт имеет 6 равновозможных независимых исходов (появление 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков), образующих полную систему событий, следовательно, n = 6.

1. Событию А благоприятствует один исход – выпадение 2, значит m = 1. Тогда .

2. Событию В благоприятствует три исхода – выпадение 2, 4 или 6, значит m = 3. Тогда .

3. Событию С благоприятствует два исхода – выпадение 5 или 6, значит m = 2. Тогда .

Пример 8.2. В компьютерном классе стоит 10 компьютеров. 10 студентов рассаживаются за ними случайным образом. Какова вероятность того, что Оля будет сидеть радом с Колей?

Решение. Выделим испытание - разместить 10 студентов у 10 компьютеров. Искомое событие А - Оля будет сидеть радом с Колей.

Воспользуемся формулой: . Найдем значение m и n.

Всего возможных способов размещения 10 студентов у 10 компьютеров существует Р₁₀ = 10!, следовательно, n = 10!

Подсчитаем число исходов m, благоприятствующих событию А. Раз Оля обязательно должна оказаться рядом с Колей, объединим их вместе. Получили пару Оля + Коля и еще 8 остальных студентов. Их можно рассадить в аудитории 9! способами. Внутри пары Олю и Колю также можно поменять местами, тогда благоприятных исходов m будет 2·9!

Следовательно, .

Список литературы:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 1, §1.5, с. 31-32, §1.7, с. 48-53.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. - Глава 1, §1.7, с. 18 – 19, §1.9, с. 28 – 30.