Розділ 3. Елементи числення висловлювань. Формалізація доказового виведення. Правила виведення у класичній логіці висловлювань. Кон’юктивна нормальна форма та побудова аргументативних міркувань

1. Правила (закони) виведення у класичній логіці висловлювань.

Сучасна логіка висловлювань (пропозиціональна логіка) вивчає логічні перетворення висловлювань з точки зору їхніх істиннісних значень („істинно – хибно”).

Висловлювання – термін, яким у логіці позначається речення природної чи штучної мови, яке розглядається з погляду його істинності чи хибності.висловлення. Змісту висловлювання відповідають описові судження формальної логіки.

У логіці висловлювань використовують такі засоби позначення:

1. Пропозиційні змінні – p, q, r... тощо, позначають елементарні судження. (В подальшому ми будемо користуватися звичними для нас символами А, В, С тощо).

2. Логічні зва’язки. Це уже відомі нам сполучники  – „і” , кон’юнкція, ,  – „або”, „або/і” , виключаючи та невиключаюча диз’юнкція,  – „якщо, ...то”, імплікація, ,  – „якщо і лише якщо, ...то”, еквіваленція (рівносильність),  –знак заперечення.

3. А також (,) – кома та дужки.

Припустимі у логіці висловлювань вирази називають правильно побудовами формулами (ППФ), до яких ставляться такі умови:

1. ППФ є будь-яка пропозиційна змінна.

2. Якщо А є ППФ, то і А також ППФ.

2. Якщо А є правильно побудованою формулою і В є правильно побудованою формулою, то утворений з них за допомогою логічних сполучників вираз теж є ППФ.

3. Жоден інший вираз, окрім зазначених у попередніх пунктах не є ППФ.

Значення сполучників щодо істинності чи хибності складних виразів ми розглянули вище у таблицях істинності.

Якщо формула за будь-яких значень змінних буде завжди істинною, то вона вважається тотожн-істинною формулою.

Якщо формула за будь-яких значень змінних є хибною, то вона вважається тотожно-хибною.

Якщо формула є то істинною, то хибною, то це – виконувана формула.

Логічні операції з висловлюваннями називають численням висловлювань. Ччислення висловлювань буває аксіоматичним та натуральнимю

Аксіоматисне числення висловлювань ґрунтується на доведенні формули через її виведення з установленої в цьому численні системи аксіом (тавтологій) на підставі правил виведення.

При натуральному численні висловлювань встановлюється відношення логічного вивідності (випливання) наслідків із заданих засновків, що не є тавтологіями (тотожно-істинними формулами). Натуральне числення ще називають системою натурального виведення (СНВ), тобто системою, що ґрунтується лише на правилах виведення.

Основні правила виведення:

Введення кон’юнкції:

А, В,...N

А  В ...N

Якщо істинність А і В обґрунтована, то їх можливо об’єднати к за допомогою кон’юнкції. Встановивши, що 1) крадіжка спрямована проти чужого майна, 2)грабіж спрямований проти чужого майна, 3)розбій спрямований проти чужого майна, 4) шахрайство спрямоване проти чужого майна, ми можемо стверджувати: „Крадіжка, грабіж, розбій, шахрайство спрямовані проти чужого майна”.

Усунення кон’юнкції (зведення простої кон’юктивної форми до елементарного висловлювання):

А  В …N А  В …N

А В

Введення диз’юнкції. Якщо якесь елементарне висловлювання вважається істинним, то істинною вважається і слабка диз’юнкція з цим висловлюванням:

А В

А  В А  В

Тут принаймні одне із суджень є істинним. Так, якщо ми висловлюємось, що хтось винив дію, спрямовану проти чужого майна, то ми можемо стверджувати, що він вчинив або крадіжку, або грабіж або розбій.

Усунення диз’юнкції. (Здійснюється за modus ponendo tollens та modus tollendo ponens розділово-категоричного умовиводу) Усунення суворої диз’юнкці :

А  В, А А  В, В А  В, А А  В, В

В А В А

Усунення несуворої диз’юнкції:

А  В, А А  В, В

В А

Ведення імплікаці. За умови істинності судження А істинно. Буде імплякація В  А:

А

В  А:

(Згідно з умовами істинності імплікації, якщо консеквент істинний імплікація завжди істинна).

Варіантом введення імплікації є „правило дедукції”:

Г, А ׀ В

Г ׀ (А  В)

(де ׀ – знак виведення). Читається: „якщо з кінцевої послідовності формул Г і висловлювання А виводиться В, то з Г виводиться істинність імплікації А  В”.

Усунення імплікації. (Відповідає modus ponens та modus tollens умовно-категоричного умовиводу).

А  В, А А  В, А А  В, А А  В, А

В В В  В

в) Modus tollens

А В,  В А  В,  В А  В, В  А   В,  В

А А А А

Введення еквіваленції полягає у тому, що до доведення можна приєднати еквіваленцію А  В, якщо у доведенні наявна імплікація А В і зворотна до неї В  А :

А В

В  А

А  В

Наприклад, міркування:

Якщо особа винна у крадіжці то вона повинна притягуватися до кримінальної відповідальності за ст..185 КК України.

Якщо особа повинна притягуватися до кримінальної відповідальності за ст..185 КК України, то вона винна у крадіжці.

Тоді і лише тоді, коли особа винна у крадіжці то вона повинна притягуватися до кримінальної відповідальності за ст..185 КК України.

Усунення еквіваленції ґрунтується на значенняк істинності еквівалентних суджень;

А  В, А А  В, В А   А А  В, В

В А В  А

Ведення подвійного заперечення подібне до логічної операції перетворення в безпосередніх дедуктивних умовиводах:

А

  А

Усунення подвійного заперечення

  А

А

Введення заперечення означає, що з двох імплікацій зі спільним антецедентом і суперечними консеквентами випливає заперечення спільного антецедента цих імплікацій.

Г, А  (В  В)

Г  А

де Г – якась скінченна послідовність формул, А і В – догвільні висловлювання

Правила рівносильної заміни (логічні рівносильності.). Відображають алгоритми еквівалентної заміни суджень, переходу до формул з іншими логічними сполучниками.

1. АА (подвійне заперечення рівносильне стверджуванню).

2. А  В  В  А (комутативність, оберненість кон’юнкції).

Комутативність виявляє симетричність диз’юнктивного та кон’юктивного зв’язків. Напр.: „Ця обставина була невідворотною і надзвичайною” це теж саме що сказати: „Ця обставина була надзвичайною і невідворотною”.

3. А  (В С)  (А  В)  С (асоціативність, по’єднуваність кон’юнкції).

4. А  В  В  А (комутативність диз’юнкції).

5. (А  В) С  А  (В  С) (асоціативність диз’юнкції).

6. А  (В  С)  (А  В)  (А  С) (дистрибутивність – розподіленість кон’юнкції відносно диз’юнкцуії).

7. А  (В  С)  (А  В)  (А  С) (дистрибутивність диз’юнкції відносно кон’юнкції).

Дистрибутивність можна проілюструвати таким мовними виразами: „На місті події могли бути К., або Р разом з М.” та „На місті події могли бути К., або Р а також К. або М.” А  АА (закон ідемпотентності кон’юнкції).

8. А  АА (закон ідемпотентності диз’юнкції).

9.  (А  В)  А  В (закон де Моргана: від заперечення кон’юнкції до диз’юнкції заперечень).

10.  (А  В)  А  В (закон де Моргана: від заперечення диз’юнкції до заперечення кон’юнкції заперечень).

Закони де Моргана можна виразити таким чином: „Невірно, що він під час пожежі отримав травми та опіки” – „При пожежі він не отримав травм або не зазнав опіків” (10). „Невірно, що він отримав травми чи опіки під час пожежі” – „під час пожежі він не отримав жодних травм і жодних опіків”.

А  В  А  В (заміна імплікації на несувору диз’юнкцію)

Наприклад: „Якщо він є свідком, то його потрібно допитати” – „Він або не був свідком, або його потрібно допитати”.

11. А  В  А  В (заміна диз’юнкції на імплікацію).

Наприклад: „Він точно попав до шпиталю чи то через травми, чи то через опіки” – „Якщо невірно, що він попав до шпиталю через травми, то він попав туди через опіки”.

12. АВ   (А  В) (заміна кон’юнкції на імплікацію).

Наприклад: „Відкладення терміну позовної давності може спричинити надзвичайна і невідворотна обставина” – „Невірно, що якщо відкладення терміну позовної давності спричинила надзвичайна обставина, то вона не була невідворотною”.

13. А  В   (А  В).

14. А  В   (А  В).

15. А  В  (А  В)  (В  А).

16. А  В  (А  В)  (А  В) (заміна еквіваленції кон’юнкцією двох диз’юнкцій).

17. А  В  (А  В)  (А  В).

18. А  В  (А  В)  (А  В) (приведення суворої диз’юнкції до несуворої).

19. (А  В)  (А  В)  В (закон виключення).

20. (А  В)  (А  В)  В (закон виключення).

21. А  (А  В)  А (закон поглинання).

22. А  (А  В)  А (закон поглинання).

23. І  Х.

24.  Х  І.

25. А  І  А. (закон виключення тавтології з еквіваленції).

26. А  Х  А (закон виключення суперечності з еквіваленції).

27. А  І  А (закон виключення тавтології з кон’юнкції).

28. А  Х Х (закон перетворення кон’юнкції у суперечність).

29. А  І  А (закон перетворення кон’юнкції у тавтологію).

30. А  Х А (закон виключення диз’юнкції).

Побудова припущення У системі натурального виведення на будь-якому кроці можна записати:

1) будь-яку частин формули (чи її заперечення) як припущення;

2) формулу, що випливає із записаних вище формул за одним із правил логічного виведення або рівносильну будь-якій записаній вище формулі;

3) раніше доведену формулу.

Коли ми маємо достатньо повні і несуперечливі засновки, то виведення з двох протилежних припущень приведе до суперечного висновку, тобто його можна буде вважати необґрунтованим. Інше ж припущення призведе до шуканого несуперечного висновку. При суперечливості засновків ми прийдемо до суперечності висновків. Це потребує усунення суперечностей у засновках.

Оскільки припущення є необґрунтованим, тобто проблематичним, висловлюванням, бажано, по можливості, обходитися без припущень. Хоча у випадках, коли наступні кроки логічного виведення не можливі без припущення, воно може виявитися доцільним.

Для прикладу візьмемо ситуацію:

Відомо, що крадіжку могли вчинити особи А, В або С. При цьому один свідок вказав, що на місці злочину бачили А. Другий свідок вказував на В. Стало також відомо, що В міг скоїти злочин лише у парі з С. Проте також відомо, що А і С не є знайомими. Які можна зробити висновки щодо участі кожного у скоєнні злочину?

Передусім ми маємо такі засновки

1. А  В  С;

2. А  В;

3. В  С;

4. А  С;

Приведемо з’єднувальне судження до категоричних:

5. А (усунення кон’юнкції 2);

6. В (усунення кон’юнкції 2);

Далі замінимо еквіваленцію на з’єднувальний зв’язок

7. В С (Заміна еквавіленції 3 на кон’юнкцію)

Змінна С у нас зустрічається найбільш регулярно, тому її можна взяти за припущення. Тоді:

8 А (усунення суворої диз’юнуції 4)

Проте:

9.  (А  (А  В)) (закон несуперечності)

Таким чином судження судження А  (А  В) буде абсурдним.

10. (А  В)  (А  В)  В (закон виключення);

11. В  С (усунення несуворої диз’юнкції 1, 8);

Таким чином:

12. (В  С)  (В С)  В  С

Отже, є підстави вважати, що до злочину причетні В і С, а свідчення, що А був на місці злочину суперечить іншим свідченням.

Або нам необхідно з’ясувати, чи випливає теза Т з таких формалізованих аргументів?

1.  Т  С;

2. С  В; ;

3. В  D;

4. С  D;

Через усунення кон’юнкції (2) отримаємо:

5. В;

6. С:

Тоді:

7.  D (УД 3);

8. С (УІ; 4, 7);

9. С  С

10. Т (УЕ 1);

11. (Т  Т)  Т  Т

12. Т (УД 11).

Отже із зазначених аргументів випливає виключно Т, тобто суперечна Т теза.