2.2.5. Ориентированный граф – эквивалент логической сети

Логической сети сопоставляется ориентированный граф, вершинам которого соответствуют логические элементы, входные и выходные полюсы сети и узлы разветвлений, а направленным дугам – соединения сети, причем дуги, инцидентные вершинам, которым соответствуют логические элементы, упорядочены. Это вызвано тем, что в общем случае функция y_i реализуемая элементом _i, несимметрична относительно перестановок входных переменных элемента. Для одновыходных элементов достаточно упорядочить дуги, заходящие в указанные вершины. Таким образом, при задании дуги в графе логической сети, кроме указания вершин, которые она соединяет, в общем случае указывается номер входа элемента, соответствующего вершине, в которую заходит рассматриваемая дуга. Будем считать этот номер весом рассматриваемой дуги. Дуги, заходящие в вершины, которые соответствуют элементам, симметричным относительно перестановок их входов, можно не взвешивать, как и дуги, заходящие в вершины, которым соответствуют выходные полюсы сети. Граф логической сети может быть задан графически или посредством матрицы смежности.

Пример логической сети изображен на рис. 16, Входные переменные обозначены символами а, b, c и d, а выходная функция – символом z.

15. Пример логической сети без обратных связей

2.2.6. Сущность процедуры ранжирования элементов логической сети

Элементы логической сети без обратных связей могут быть упорядочены следующим образом. Перенумеруем сначала в произвольном порядке входные полюсы сети и отнесем их к нулевому рангу. Затем перенумеруем также в произвольном порядке элементы сети, все входы которых соединены лишь с входными полюсами (указанные элементы будем называть элементами первого ранга). Подобным образом выполним произвольную нумерацию элементов, входы которых обязательно соединены с выходами элементов первого ранга и, возможно, с входными полюсами (элементы второго ранга). Входами элементов j-го ранга обязательно являются выходы элементов (j1)-го ранга и, возможно, входные полюсы и выходы элементов ранга, меньшего j1. Указанная процедура упорядочения элементов (или ранжирования сети) заканчивается, когда все элементы сети будут пронумерованы и им будет присвоен некоторый ранг. Для логической сети, приведенной на рис. 16, ранги ее элементов указаны над сетью.

2.2.7. Способы перехода от правильной логической сети к функциональному описанию комбинационных дискретных устройств

Как известно, от правильной логической сети легко перейти к функциональному описанию представляемого ею комбинационного устройства. Так, например, при аналитическом представлении функционального описания логических элементов ранжированной сети аналитическая запись системы передаточных функций комбинационного устройства может быть получена путем последовательной подстановки выходных функции элементов (начиная с элементов первого ранга). При этом в формулу, представляющую реализуемую некоторым элементом функцию, вместо входных переменных элемента подставляются переменные входных полюсов сети или формулы выходных функций элементов, выходы которых соединены с входами рассматриваемого элемента.

Пример 2.3. Обозначим выходы элементов, не являющиеся внешним выходом сети (рис. 16), символами у с нижним индексом, указывающим номер элемента. Тогда описанная процедура прямой подстановки при получении прямой функции z выглядит следующим образом:

ранг 1 – y₁=сd, у₂= , y₃= ;

ранг 2 – у₄=у₁а=сdа, у₅=у₂y₃=  ;

ранг 3 – у₆=bу₄=b(сdа), y₇= ;

ранг 4 – у₈=у₇у₅=

ранг 5 – z=y₆y₈=b(сdа) =ab bсd

Аналитическая запись системы передаточных функций, реализуемых комбинационным устройством, может быть получена также при помощи процедуры обратной подстановки (от выходов к входам устройства). Сущность процедуры состоит в последовательной подстановке выходных функций элементов сети (начиная с элементов последнего ранга).

Пример 2.4. Проиллюстрируем процедуру обратной подстановки на том же примере логической сети (рис. 16) для получения реализуемой ею прямой функции z.

ранг 5 – z=y₆y₈;

ранг 4 – z=y₆y₇y₅;

ранг 3 – z=by₄ y₅;

ранг 2 – z=b(y₁a) (y₂y₃);

ранг 1 – z=b(cda)(  ) (  )=ab bcd .

Обратная (или инверсная) функция может быть получена как путем инвертирования прямой функции z, так и по заданной логической сети при помощи процедур прямой или обратной подстановки. В последнем случае выполняется подстановка инверсных входных переменных или выходных функций элементов сети.

Пример 2.5. Применим процедуру обратной подстановки к сети (рис. 16) в целях получения обратной функции z:

;

;

;

В дальнейшем под передаточной функцией комбинационного устройства или функцией, реализуемой устройством, будем понимать, как правило, прямую функцию.