2.1. Функциональные модели дискретных устройств

2.1.1. Сущность функционального подхода к моделированию

При функциональном подходе исследуемое устройство рассматривается как «черный ящик», т.е. как объект, внутренняя организация или структура которого неизвестна или не имеет значения [30]. Исследователя в этом случае интересует лишь характер переработки информации, осуществляемой устройством, и выяснение функциональных зависимостей между информацией, поступающей на входы устройства и вырабатываемой на его выходах.

2.1.2. Соглашения и допущения при функциональном подходе к моделированию комбинационных дискретных устройств

При функциональном подходе к моделированию комбинационных дискретных устройств имеют место следующие допущения:

1. Дискретное комбинационное устройство (рис. 11) имеет п входов и k выходов.

2. Каждая из п входных переменных x₁, х₂, …, х_n, может принимать значения из двоичного алфавита {0, 1.

3. Комбинацию значений входных переменных будем называть входным набором или входным словом и обозначать символом X_j, j = 0, 1, …, 2ⁿ1, где 2ⁿ – число возможных (разных) входных наборов. Если упорядочить входные переменные, то каждый входной набор может быть представлен n-разрядным двоичным числом. В том случае, если не все входные наборы по условиям функционирования дискретного устройства являются разрешенными, то в общем случае область допустимых входных слов X^* является подмножеством всех возможных входных слов X = {X_j, j = 0, 1, …, 2ⁿ1}: X^*  X.

4. Каждая из k выходных функций z₁, z₂ ,…, z_k также может принимать значения из двоичного алфавита {0, 1}. Комбинация значений выходных функций образует выходной набор или выходное слово Z_j, Выходные наборы Z_j являются k-разрядными двоичными числами.

1. Представление ОД при функциональном подходе

По определению комбинационного устройства каждому входному набору X_j  X^*, поданному в некоторый момент времени на его входы, соответствует выходной набор Z_j  Z, появляющийся в тот момент времени на его выходе. Разным входным наборам могут соответствовать одинаковые наборы.

Наборы X_j являются значениями n-мерного вектора с компонентами x₁, x₂,…, x_n, а наборы Z_j – значениями k-мерного вектора с компонентами z₁, z₂ ,..., z_k.

2.1.3. Обобщенная аналитическая математическая модель исправного комбинационного дискретного устройства

С учетом сделанных допущений и соглашений для систем передаточных функций, реализуемых исправным комбинационным устройством, можно записать в виде:

Z = F(X). (2.1)

или в форме системы соответствий вида

F: X_j  Z_j. (2.2)

для всех j = 1, 2, ...,2ⁿ.

2.1.4. Табличная математическая модель исправного комбинационного дискретного устройства

Выходные функции z₁, z₂ ,..., z_k являются булевыми функциями независимых переменных x₁, x₂ ,…, x_n. Для задания булевых функции часто используют таблицы истинности. Столбцы таблиц истинности (табл. 2) сопоставляются входным переменным (в левой части) и выходным функциям (в правой части). В строке j таблицы истинности записываются слева направо входной набор X_j и соответствующий ему выходной набор Z_j, обычно в виде двоичных чисел.

Систему соответствий (2.2) можно представить либо одной общей для всех выходных функций таблицей истинности, либо k таблицами истинности – по одной для каждой выходной функции. Последний случай соответствует заданию системы соответствий вида

X_j  (z_)_j (2.3)

для всех  = 1, 2, …, k и всех j = 0, 1, …, 2ⁿ1.

1. Таблица истинности многовыходного дискретного устройства

Номера входных наборов	Значения входных переменных				Значения логических функций
	xn	…	x2	x1	z1	z2	…	zk
0	0	…	0	0	1	1	…	0
1	0	…	1	1	0	1	…	1
2	…	…	…	…	…	…	…	…

Пример 2.1. Примером общей таблицы истинности для двух выходных функций z₁, z₂ от трех входных переменных x₁, x₂, х₃ является табл. 3. В левом столбце этой таблицы указаны порядковые номера строк, являющиеся десятичными эквивалентами двоичных чисел, представляющих входные наборы.

2. Таблица истинности двухвыходного дискретного устройства

№	x3	x2	x1	z1	z2
0	0	0	0	0	0
1	0	0	1	0	0
2	0	1	0	1	0
3	0	1	1	1	1
4	1	0	0	0	1
5	1	0	1	0	1
6	1	1	0	0	0
7	1	1	1	1	1

Таблица истинности является функциональной математической моделью комбинационного устройства. От таблицы истинности можно перейти к аналитической функциональной математической модели комбинационного устройства, представив его выходные функции в виде, например, формул булевой алгебры. Одна и та же булева функция может быть представлена в прямом или инверсном виде разными формулами.

Пример 2.2. Прямой вид функции, или прямая функция, z₁ из табл. 3 может быть задан совершенной дизъюнктивной нормальной формой

минимальной дизъюнктивной нормальной формой

полученной из совершенной дизъюнктивной нормальной формы в результате простейших логических преобразований

,

и скобочной формой

Для инверсного вида функции, или для инверсной функции, получаем:

или

Каждой из приведенных форм соответствует дискретное устройство определенной структуры, причем реализующее одну и ту же передаточную функцию F(X). Так для форм, полученных в примере 2, на основании табл. 2, соответствуют следующие структуры: совершенная дизъюнктивная нормальная форма – рис. 12, минимальная дизъюнктивная нормальная форма – рис. 13, скобочная форма – рис. 14.

11. Функциональная схема ДУ, описываемая совершенной ДНФ

12. Функциональная схема ДУ, описываемая минимальной ДНФ

13. Функциональная схема ДУ, описываемая скобочной формой

Обобщая вышеизложенное, можно сделать следующий вывод. Функциональные модели используются для описания устройств, когда исследуемое устройство рассматривается как «черный ящик», структура которого неизвестна или не имеет значения. Они предназначены для выяснения характера переработки информации, осуществляемой устройством, и выяснения функциональных зависимостей между информацией, поступающей на входы устройства и вырабатываемой на его выходах. В рамках функционального подхода возможен переход от аналитической формы представления модели к табличной и наоборот. Однако диагностические возможности функциональных моделей ограничены, поскольку они не учитывают структурных особенностей (свойств) физических объектов диагностирования.