1.2. Классификация математических моделей объектов диагностирования

Для применения к процессу поиска способов математического анализа необходимо иметь математические модели устройства и самого процесса.^

Любая система с достаточной для практики точностью может быть представлена конечной совокупностью характеристик, которые определяются ее структурой и параметрами элементов. Информация об истинном состоянии ОД может быть получена только в результате его проверки [8]. При этом внутренняя структура ОД, как правило, недоступна для непосредственного наблюдения. Доступны только вход и выход. На вход могут поступать входные сигналы, описываемые вектором X(t). Сигналы, снимаемые с выхода, представляют собой реакцию системы и обозначаются вектором Y(t). Составляющие этого вектора определяют точку, которая характеризует соответствующее состояние (фазовое) системы. Закон преобразования входных сигналов X(t) в выходные сигналы Y(t), являющийся функцией времени, определяется структурой и параметрами элементов системы. Этот закон описывается оператором А(р). Работа системы в общем виде описывается соотношением

Y(t)=A(p)X(t).

Реакция системы на входные возмущения и начальные условия отображает ее функционирование [23].

Для оценки состояния ОД при контроле необходимо располагать описанием его работы (моделью), устанавливающим взаимосвязь между его состояниями и соответствующими им реакциями на входные возмущающие воздействия. В математической модели должны быть учтены наиболее существенные факторы, воздействующие на ОД, и параметры, характеризующие его структуру и функционирование. Кроме того, разрабатываемая математическая модель должна позволять эффективно решать задачи контроля и диагностирования. Математическая модель, используемая при его контроле и диагностировании, строится на основе идеализации и абстракции.

Процесс разработки математической модели должен вестись с применением методов анализа и синтеза в направлении детализации до уровня, обеспечивающего контроль и поиск неисправностей с требуемой глубиной. Таким образом, уже на стадии разработки математической модели ОД закладываются требования эксплуатации к его контролю и диагностированию.

Под математической моделью реального объекта понимается [30, 38, 43] совокупность соотношений (например, уравнений, неравенств, логических условий и др.), определяющих характеристики состояний объекта (а через них и выходные сигналы) в зависимости от параметров объекта, входных сигналов, начальных условий и времени.

Понятию «соотношение» в этом определении придается весьма широкий смысл. В некоторых случаях эти соотношения могут быть представлены в виде явных функций от параметров системы. В других случаях математическая модель представляет собой совокупность уравнений (алгебраических, дифференциальных и др.) относительно переменных состояний объекта и выходных (наблюдаемых) сигналов. При этом параметры объекта входят в коэффициенты уравнений, а входные сигналы – в правые части.

Математическая модель ОД определяет содержание диагностической модели в целом, понятие о которой является одним из основных понятий технической диагностики. Согласно ГОСТ 20911-89 «Техническая диагностика. Термины и определения» диагностическая модель называется формализованное описание объекта, необходимое для решения задач диагностирования.

Математические модели чрезвычайно широко используются при исследовании различных объектов и процессов. Широкое применение математических моделей обусловлено следующими факторами [30, 43]:

1) математическая модель безразлична к форме своего материального воплощения;

2) реализация математической модели на современных ЭВМ и ее экспериментальное исследование связаны с гораздо меньшими материальными и временными затратами по сравнению с теми затратами, которые требуется для экспериментов над реальными объектами;

3) математические модели позволяют широко применять при исследовании объектов формальный аппарат современной математики.

Сложность и многообразие реальных объектов не позволяют строить для них абсолютно адекватные модели. Математическая модель, будучи формализованным абстрактным описанием объекта, в состоянии охватить только основные, характерные его свойства, оставляя в стороне несущественные факторы.

Разобравшись с вопросом, что такое математическая модель в сущности и каково ее значения для технической диагностики, целесообразно сформулировать основные требования, которые предъявляются к математическим моделям как образам реальных технических устройств [8, 21]:

1. Математическая модель должна быть достаточно абстрактной, чтобы ее можно было применить для определенного класса ОД.

2. Математическая модель должна описывать максимально возможное число технических состояний ОД, т.е. позволять определять наибольшее количество неисправностей ОД.

3. Математическая модель должна быть представлена в форме, удобной для ее технической реализации и, в частности, для реализации с помощью ЭВМ.

4. Математическая модель должна позволять использовать для решения диагностических задач современные математические методы анализа.

5. Математическая модель должна позволять выделять наиболее информативные диагностические признаки ОД, т.е. определять оптимальную совокупность диагностических параметров.

Классификация математических моделей. Математические модели могут быть представлены в различных видах в зависимости от типа моделируемого объекта, условий его функционирования, объема априорной информации и других факторов [22]. Так, например, в зависимости от вида моделируемого объекта модели могут быть линейными и нелинейными, непрерывными и дискретными, статическими и динамическими, детерминированными и стохастическими и т.д.

По форме своего представления математические модели подразделяются на два больших класса: параметрические и непараметрические модели.

Параметрические модели представляют собой совокупность математических соотношений, в которых параметры объекта фигурируют либо в явном виде, либо в виде коэффициентов уравнений. К таким моделям относятся алгебраические и дифференциальные уравнения, полиномиальные выражения, передаточные функции.

Непараметрические модели представляют собой описание объекта в виде графиков, таблиц, графов и т.д. Таковыми являются, например, переходные и частотные характеристики объекта. Между параметрическими и непараметрическими моделями существует связь, позволяющая по одному виду модели построить другой вид. Так, например, по передаточной функции легко получить переходную, импульсную переходную функцию и частотные «характеристики».

Любая из указанных моделей представляет собой абстрактное информационное отражение реального объекта на формализованном языке математики, т.е. является его образом. Все эти абстрактные образы связывают функционально входные и выходные сигналы объекта. По количеству входов и выходов объекты и соответствующие им модели классифицируют на одномерные и многомерные. На рис. 10, а показана схема одномерного объекта, а на рис. 10, б, в, г – схемы многомерных объектов.

10. Структуры ОД

Если связь между входными и выходными сигналами чисто алгебраическая и объект не может обладать запасенной энергией, то такой объект называется статическим. Математические модели статических объектов, изображенных на рис. 10, можно записать в виде:

а) y = f(x); (1.3)

б) _i(y₁,…,y_N, x₁,…x_M) = 0, ; (1.4)

в) y=f(x₁,…x_M); (1.5)

г) _i(y₁,…,y_N, x) = 0, . (1.6)

В случае, если статические объекты являются линейными (т.е. объектами, для которых справедлив принцип суперпозиции), то представленные выше уравнения (1.3) – (1.6) приобретут соответственно следующий вид:

а) y=kx; (1.7)

б) A_[N]Y_(N)=B_[N,M]X_(M)

или

(1.8)

в) ; (1.9)

г)

или

у_i = k_i x, . (1.10)

Коэффициенты k, a_ij, b_ij, k_i в приведенных соотношениях могут быть функциями времени.

Если det то уравнения (1.8) могут быть разрешимы относительно входных переменных.

Объекты, для которых свойственно иметь запас энергии, называются динамическими. Наиболее употребительной моделью динамических объектов являются дифференциальные уравнения. Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое входят функции одного или нескольких аргументов, при этом в уравнение входят не только функции и аргументы, но и их производные. Будем рассматривать только объекты с сосредоточенными параметрами, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется такое, в которое входят функции одного аргумента. Если же в дифференциальное уравнение входят функции нескольких аргументов, то оно называется дифференциальным уравнением в частных производных. Порядок системы дифференциальных уравнений, описывающей модель объекта, непосредственно не определяется количеством входов и выходов, а зависит от операторов, преобразующих входные сигналы в выходные.

Дифференциальное уравнение модели одномерного объекта имеет вид

(1.11)

Это дифференциальное уравнение n-го порядка относительно переменной y(t).

Обычно его можно разрешить относительно старшей производной :

(1.12)

Запасенная объектами энергия определяет начальные условия

, (1.13)

которым в момент времени t₀ должны удовлетворять переменная y(t) и ее производные y(t), y(t), …, y^(n1)(t).

Для одномерного линейного динамического объекта уравнение (1.12) имеет вид обыкновенного неоднородного дифференциального уравнения

Выше были рассмотрены отдельные, наиболее важные свойства и параметры систем электрического и электронного оборудования автомобилей радиоэлектронной природы, была дана классификация их ФЭ по виду преобразования и по способу съема диагностической информации; рассмотрены сущность, назначение и роль математических моделей в техническом диагностировании, сформулированы основные требования к математическим моделям как носителям наиболее существенных свойств реальных объектов, дана характеристика основных видов математических моделей, используемых в современной технической диагностике для исследования свойств реальных технических устройств радиоэлектронной природы, проведена классификация этих моделей.

Таким образом, в данном разделе были рассмотрены различные аспекты математического моделирования при решении диагностических задач. Далее будут рассмотрены вопросы разработки математических моделей для диагностики дискретных технических устройств.