8.3. Алгоритм оптимизации диагностической экспертной информации

Задача выбора минимального числа проверок, обладающих свойством различимости, в рамках разработанной вероятностно-лингвистической модели формулируется следующим образом. Необходимо, используя модель (8.1), определить множество проверок, удовлетворяющих условиям:

, (8.2)

. (8.3)

Эти условия требуют, чтобы во множестве проверок для любой пары неисправностей и нашлась хотя бы одна проверка, по результатам которой они были различимы, и чтобы это множество было минимальным из всех возможных, то есть содержало минимальное число проверок.

8.3.1. Декомпозиция задачи построения оптимального множества проверок для отыскания неисправности

Выражения (8.2) и (8.3) определяют условия, которым должно удовлетворять искомое множество проверок и могут быть использованы для проверки правильности решения задачи. Однако, само решение поставленной задачи на их основе практически невозможно.

Для решения задачи построения искомого множества элементарных проверок целесообразно применить логические методы выбора проверок, которые наиболее эффективны (дают «точный» результат) и просты в реализации, особенно на ЭВМ. Декомпозиция выдвинутой задачи требует решения трех следующих задач:

1. классификации;

2. построения матрицы различимости;

3. покрытия полученной матрицы различимости.

Решение каждой из этих задач представляет собой самостоятельную проблему.

8.3.2. Классификация множества вероятностно-лингвистических синдромов

Классификация множества вероятностно-лингвистических синдромов является довольно сложной проблемой. Ее решение может быть получено путем разрешения нижеследующего комплекса взаимосвязанных задач:

а) формулировка задачи классификации и обоснование принципов ее решения. Так как математическая модель (8.1) представляет собой множество вероятностно-лингвистических синдромов V, описывающее системы ЭЭСА в исправном и всех рассматриваемых неисправных состояниях, то решение задачи классификации [17, 19, 21] заключается в разбиении множества V на ряд непересекающихся классов и определении принадлежности каждого из наблюдаемых состояний одному из классов. Решаемая в рамках вероятностно-лингвистической модели задача классификации по существу представляет собой задачу построения на множестве , нечетких разбиений . Нечеткое разбиение представляет собой семейство нечетких множеств второго уровня, удовлетворяющих следующим условиям [32]:

1. 

2. ,

3. ,

4. .

Следует пояснить смысл приведенных выше выражений. Первое выражение означает, что в любой из классов нечеткого разбиения попадает, по крайней мере, один вероятностно-лингвистический синдром. Второе – что любой из классов нечеткого разбиения задан на множестве всех вероятностно-лингвистических синдромов, наблюдаемых при реализации q–й элементарной проверки в каждом из всех возможных неисправных состояний . Третье – что никакие два вероятностно-лингвистических синдрома, принадлежащие различным классам нечеткого разбиения, не равны друг другу. Объединение всех классов нечеткого разбиения нечетко равно множеству всех возможных вероятностно-лингвистических синдромов – это устанавливает четвертое выражение.

Для получения нечеткого разбиения воспользуемся следующим правилом [32]:

где , а операция для и определена как

.

Приведенное правило означает, что два различных вероятностно-лингвисти­ческих синдрома и попадают в один класс нечеткого разбиения в случае их равенства, при этом они объединяются. Если же для вероятностно-лингвистического синдрома не существует равного вероятностно-лингвистического синдрома, то он сам является классом нечеткого разбиения;

б) выбор меры и решающего правила классификации. В связи с тем, что задача классификации связана с построением на множестве , классов, внутри которых вероятностно-лингвистические синдромы неразличимы (находятся в отношении нечеткой эквивалентности), необходимо выбрать меру, способ ее вычисления и решающее правило для осуществления классификации.

Так как пространство субъективных возможностей не принадлежит к метрическим или вероятностным пространствам [28], то метрические и вероятностные меры для принятия решений в нем неприемлемы. Наиболее адекватной решаемой задаче классификации, учитывающей природу исходной информации и, что самое главное, дающей хорошие практические результаты [32], является степень нечеткого равенства [см. выражение (2.4)]. В качестве решающего правила предлагается использовать выражение

,

при выполнении которого нечеткие множества и являются нечетко равными » или индифферентными ~ ;

в) процедура классификации множества вероятностно-лингвистических синдромов и результаты ее реализации. Процедура классификации множества вероятностно-лингвистических синдромов основана на вычислении для каждой их пары степени нечеткого равенства и сравнении ее с заданным уровнем достоверности .

Если степень нечеткого равенства , определяемая в соответствии с выражениями:

,

,

,

будет удовлетворять условию

,

то вероятностно-лингвистические синдромы и нечетко равны ( » ) или индифферентны ( ~ ) относительно нечеткого равенства со степенью достоверности не меньше .

Смысл классификации множества заключается в определении классов нечеткой эквивалентности , , содержащих вероятностно-лингвистические синдромы , , неразличимые относительно заданного уровня достоверности . Иначе говоря, в процессе классификации формируются классы нечеткой эквивалентности , , соответствующие множествам неисправностей, неразличимых проверкой .

Очевидно, что при решении задачи классификации вероятностно-лингвисти­ческих синдромов, составляющих модель (8.1), поиск рациональных способов построения семейства канонических фактор-множеств имеет первостепенное значение.

Утверждение 8.1. Если множество вероятностно-лингвистических синдромов вероятностно-лингвистической диагностической таблицы, то

. (8.4)

Доказательство: Докажем первую часть утверждения. Предположим, что . Так как , то в силу транзитивности отношения нечеткой эквивалентности следует . Полученное соотношение противоречит исходному условию утверждения. Следовательно .

Докажем вторую часть утверждения. Так как , то , где – i–й класс нечеткого разбиения . Если , то , где – j–й класс нечеткого разбиения . Для трех выбранных вероятностно-лингвистических синдромов, связанных исходным условием (8.4) утверждения 8.2,

,

где – высота пересечения классов и нечеткого разбиения . Из определения высоты и пересечения двух нечетких множеств следует:

. (8.5)

Рассмотрим каждое из слагаемых дизъюнкции (8.5). Первое:

.

Учитывая, что , , имеем

.

Так как , , , то

. (8.6)

Второе:

Так как , , а согласно доказанной первой части утверждения , то

. (8.7)

Третье:

.

Учитывая, что по условию утверждения, согласно ее доказанной первой части, и очевидность , имеем

. (8.8)

Таким образом (8.5) с учетом (8.6) ¸ (8.8) принимает вид:

. (8.9)

Выражение (8.9) после упрощения на основе закона поглощения примет вид:

.

Следовательно

.

Откуда имеем

.

Практическая значимость утверждения 8.2 состоит в том, что на его основе можно не производить парных сравнений вероятностно-лингвистических синдромов, уже вошедших в один из имеющихся классов нечеткой эквивалентности, с вероятностно-лингвистическими синдромами, в эти классы не вошедшими, и оценивать верхнюю границу их эквивалентности. С учетом утверждения 8.2 может быть сформулировано следующее утверждение.

Утверждение 8.2. Число парных сравнений, необходимое для классификации множества вероятностно-лингвистических синдромов вероятностно-лингвистической диагностической таблицы определяется соотношением:

, (8.10)

где q – порядковый номер фактор-множества ;

– число классов нечеткой эквивалентности в q–м фактор множестве ;

L – число вероятностно-лингвистических синдромов в q–м множестве (соответствует числу неисправностей);

l – порядковый номер класса нечеткой эквивалентности в q–м фактор-множестве ;

– мощность множества , составленного из вероятностно-лингвистичес­ких синдромов, вошедших в класс нечеткой эквивалентности .

Доказательство: число парных сравнений, необходимых для определения . Так как после этого мощность множества вероятностно-лингвистических синдромов, чье отношение друг к другу еще не определено: , то число парных сравнений, необходимых для определения . Рассуждая аналогичным способом, находим число парных сравнений, необходимых для определения –го и –го классов нечеткой эквивалентности ( и ) соответственно: и . Суммарное число парных сравнений, необходимых для факторизации множества равно:

.

После незначительных упрощений полученного выражения с применением сочетательного и распределительного законов оно преобразуется в выражение:

.

В силу общности приведенных выше выкладок для имеем:

.

Таким образом, выражение (8.10) доказано.

Утверждение 8.3. Если , ; матрица, составленная из вероятностно-лингвистических синдромов, а , ; – матрица, составленная из степеней эквивалентности, , то индексы n, l и f связаны соотношением:

. (8.11)

Доказательство: Очевидно, что индекс n числено равен количеству всех возможных парных сравнений с начала классификации множества и до определения степени нечеткой эквивалентности вероятностно-лингвистических синдромов включительно.

Количество сравнений с вероятностно-лингвистическими синдромами равно (L–1); с : (L–2); с . К моменту сравнения с вероятностно-лингвистическими синдромами число произведенных сравнений определяется соотношением:

.

Прибавив к этому числу число сравнений вероятностно-лингвистического синдрома с вероятностно-лингвистическими синдромами , которое определяется как (f–l), получим:

.

Результатом классификации являются:

1. Матрица размерности , на пересечении q–й строки и l–го столбца которой записан порядковый номер класса нечеткой эквивалентности q–го канонического фактор-множества :

.

2. Матрица нечеткой эквивалентности размерности , на пересечении q–й строки и n–го столбца которой записано значение нечеткой эквивалентности вероятностно-лингвистических синдромов :

.

3. Множество

канонических фактор-множеств , содержащих классы нечетко эквивалентных вероятностно-лингвистических синдромов.