7.3. Дисконтирование векселей по простой и сложной учетной ставке

7.3.1. Дисконтирование векселей по простой учетной ставке

Под дисконтированием (учетом) векселя понимается его передача векселедержателем банку для получения вексельной суммы до наступления даты платежа.

За учет векселя банк взимает плату, возмещая векселедержателю сумму, указанную в векселе, за вычетом учетного процента (дисконта).

Векселя бывают двух типов:

1. Вексель, в котором указана абсолютная сумма, подлежащая выплате должником

2. Вексель, в котором кроме абсолютной суммы долга предусмотрено начисление процентов на указанную сумму.

По векселям, в которых указана только сумма долга без начисления процентов, величина дисконта (D) определяется по формуле:

d - ставка дисконтирования, объявленная банком (учетная ставка);

n – период от дня дисконтирования до дня погашения векселя.

Сумма, которую получает векселедержатель при досрочном учете векселя, наз. Дисконтированной величиной векселя.

Владелец векселя получит:

PV=FV-FV*n*d=FV(1-n*d)

где (1-nd) - дисконтный множитель или коэффициент дисконтирования.

Разность между FV (номинальная величина векселя) и PV (дисконтированная величина векселя), равная D, представляет собой комиссионные, удерживаемые банком в совю пользу за предоставленную услугу.

По векселям, по которым предусмотрено начисление процентов на сумму долга (процентные векселя), векселедержателю необходимо оценить выгодность учета векселя в банке.

Сумма, которую получит векселедержатель по процентному векселю при его учете в банке, определяется по формуле:

PV^/=PV(1+n_вr)(1-nd),

где r – вексельная процентная ставка;

n_в – период обращения векселя от дня выдачи до дня погащения.

Между учетной ставкой, по которой учитывается вексель, и кредитной ставкой (ставкой наращения), по которой банк выдает кредит, существет определенная взаимосвязь, котрую можно выразить математически. Для определения взаимосвязи между кредитной и учетной ставками проведем следующие преобразования:

1. Выразим сумму, которую должен получить банк при погашении векселя:

где PV_у – сумма, по которой банк учтет вексель,

t – срок от дня учета векселя до дня погашения,

r - кредитная ставка процента.

2. Определим PV_у – сумму, которую банк выплатит векселедержателю при досрочном учете векселя:

3. Подставляем PV_у в формулу определения PV^/:

4. Делим обе части выражения на PV^/

5. Перемножаем

6. Перенесем первые два слагаемых в левую часть

7. Делим обе части уравнения на t/T

8. Отсюда кредитная ставка равна

7.3.3. Дисконтирование векселей по сложной учетной ставке

В случае если сложный процент начисляется в момент заключения финансового соглашения осуществляется операция дисконтирования и применяется сложная учетная ставка.

Предположим, что некоторое долговое обязательство на сумму FV и сроком погашения через n лет продается (учитывается) раньше срока с дисконтом по сложной годовой учетной ставке d.

Если осуществить продажу (учет) за год до срока то начисляются проценты FV*d и продавец получит сумму

FV-FV*d=FV(1-d)

Если осуществить продажу за два года до срока погашения, то за один год проценты начисляются на FV, а за второй год – уже на сумму FV(1-d), дисконтированную на предыдущем шаге, т.е. продавец получит сумму

FV(1-d)-FV(1-d)d=FV(1-d)(1-d)=FV(1-d)²

Если долговое обязательство продается за n лет до срока, то продавец получит сумму

PV=FV(1-d)ⁿ

где (1-d)ⁿ – дисконтный множитель.

PV представляет собой текущую (современную) стоимость будущего платежа FV.

Дисконт D равен величине

D=FV-PV=FV-FV(1-d)ⁿ=FV(1-(1-d)ⁿ)

Если срок n, за который осуществляется дисконтирование не является целым числом лет, то возможны следующие методы определения стоимости учтенного за n лет капитала:

а) использование сложной учетной ставки

PV=FV(1-d)^a+b

б) использование смешанной схемы

PV=FV(1-d)^a(1-bd)

где a – целое число лет, а = [n],

b – дробная часть года, b=n-[n], n=a+b

Пусть дисконтирование происходит m раз в году и задана сложная годовая учетная ставка d^(m)/

Если капитал учитывается за n лет при m-кратном дисконтировании в течение года

Если mn не является целым числом. Это возможно тогда, когда дисконтирование осуществляется по внутригодовым подпериодам, но общий период n неравен целому числу подпериодов. В этом случае можно использовать следующие формулы:

или

где a=[nm], b=nm-[nm],

Из формулы определяется период n

При m=1, d^(m)=d

Из этой же формулы определяется величина номинальной учетной ставки d^(m)

При m=1, d^(m)=d,

Определение эффективной годовой учетной ставки d_э, обеспечивающей переход от FV к PV при заданных их значениях и однократном дисконтировании

Из формулы определения d_э можно найти соотношение для определения номинальной учетной ставки, если известны d_э и число m дисконтирования в год.

Используя эффективную учетную ставку можно определить эквивалентные номинальные учетные ставки d^(m) и d^(l) как ставки, удовлетворяющие равенствам:

Эффективную годовую учетную ставку можно найти, не зная номинальной учетной ставки, а зная величину FV и ее дисконтированную (любым образом) за время n сумму PV.

Если PV=FV(1-d_э)ⁿ, то

Если наращение сложными процентами по учетной ставке происходит m раз в год, то можно из формулы вывести формулу для определения наращенной суммы