4.5. Функция 5 – будущая стоимость аннуитета (наращение – прямая задача)

Прямая задача предполагает оценку с позиции будущего, т.е. на конец периода n, когда реализуется схема наращения

На первое денежное поступление С₁ начисляются сложные проценты за (n-1)период и оно в конце n-го периода станет равным

На второе денежное поступление С₂ начисляются сложные проценты за (n-2) периода и оно станет равным и т.д.

На последнее денежное поступление C_n-1 проценты начисляются за один период и оно будет в конце n-го периода равно С_n-1(1+r).

На последнее денежное поступление Сn проценты не начисляются.

Следовательно, наращенный денежный поток для исходного потока постнумерандо имеет вид

Будущая стоимость FV исходного денежного потока (аннуитета) постнумерандо может быть оценена как сумма наращенных поступлений

где FM1(r,n)=(1+r)ⁿ – множитель наращения.

Логика оценки аннуитета пренумерандо аналогична. Для прямой задачи схема наращения будет выглядеть следующим образом.

Наращенный денежный поток имеет вид:

С₁(1+r)ⁿ, C₂(1+r)^n-1, …. , C_n(1+r)

Будущая стоимость аннуитета пренумерандо рассчитывается по форомуле

Оценка постоянного аннуитета постнумерандо

Аннуитет называется постоянным, если все денежные поступления равны между собой

С₁=С₂=С₃₌А

Прямая задача оценки срочного аннуитета при заданных величинах регулярного поступления (А) и процентной ставке r предполагает оценку будущей стоимости аннуитета (FV_pst).

Как следует из логики, присущей схеме аннуитета, записанный в порядке поступления платежей наращенный денежный поток (в аннуитет постнумерандо) имеет вид

А(1+r)^n-1, A(1+r)^n-2, ….. , A(1+r), A

Этот ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем q=(1+r) и первым членом А. Число членов прогрессии равно n. Тогда будущая стоимость аннуитета равна сумме этой прогрессии

где – коэффициент наращения аннуитета.

Экономический смысл коэффициента наращения аннуитета заключается в том, что он показывает, чему будет равна суммарная величина срочного аннуитета в одну денежную единицу (например, один рубль) к концу срока его действия. Предполагается, что производится лишь начисление денежных сумм, а их изъятие может быть сделано по окончании срока действия аннуитета.

Коэффициент наращения аннуитета показывает, во сколько раз наращенная сумма аннуитета больше величины денежного поступления А. В связи с этим его также называют коэффициентом аккумуляции вкладов или фактором будущей стоимости обычного аннуитета.

Если r – процентная ставка (в десятичных дробях) за базовый период, а начисление процентов происходит m раз в течение этого периода, то наращенный денежный поток, начиная с последнего денежного поступления имеет вид

Получили геометрическую прогрессию, первый член которой равен А и знаменатель . Сумма n первых членов этой прогрессии равна

Ситуацию, когда в течение базового периода начисления процентов денежные поступления происходят несколько раз, а проценты начисляются один раз в конце периода, можно рассматривать с двух позиций.

1. Пусть в течение базового периода денежные поступления происходят р раз и один раз в конце периода начисляются проценты в соответствие со ставкой r.

Определим сумму, которая накопится к концу любого периода, если на отдельные взносы, поступающие в течение периода, начисляются сложные проценты.

На р-е поступление проценты не начисляются и оно остается равным А.

На предпоследнее (р-1) – е поступление начисляются сложные проценты за -ю часть периода и оно будет равно

(в числителе 1,2 и т.д. до р-1 означает степень, в которую возводится множитель члена аннуитета)

На р-е поступление начисляются сложные проценты за -ю часть периода и оно будет равно

Полученная последовательность величин представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом А, знаменателем и числом членов, равным р. Сумма этих величин равна:

Т.о., можно считать, что имеем аннуитет в котором денежные поступления равны величине и происходят в конце каждого базового периода начисления процентов. Поэтому получим:

2. Пусть на отдельные взносы, поступающие в течение периода, начисляются простые проценты. Определим сумму, которая накопится к концу любого периода.

Последнее р-1 поступление равно А.

На предпоследнее (р-1)-е поступление начисляются простые проценты за -ю часть периода и оно будет равно .

(p-2) – е поступление станет равным и т.д.

Первое поступление станет равным

Полученные величины образуют арифметическую прогрессию, следовательно их сумма равна

Аналогичным образом можно рассмотреть и самую общую ситуацию, когда в течение базового периода денежные поступления происходят р раз и проценты начисляются m раз за период. Например, если начисляются только сложные проценты, то как и ранее, определяем вначале сумму, образовавшуюся в конце любого периода.

Позднее р-е поступление в периоде остается равным А. Предпоследнее (р-1)-е поступление после начисления сложных процентов составит

(р-2)-е поступление -

Находим сумму полученных величин

Cчитая, что есть аннуитет с денежными поступлениями, равными полученной сумме с использованием формулы (1) получим:

Оценка постоянного аннуитета пренумерандо

Т.к денежные поступления в аннуитете пренумерандо происходят в начале каждого периода, то этот аннуитет отличается от аннуитета постнумерандо количеством периодов начисления процентов.

Например, для срочного аннуитета пренумерандо с регулярными денежными поступлениями, равными А, и процентной ставкой r, наращенный денежный поток имеет вид:

Учитывая, что

Т.е. наращенная сумма (будущая стоимость) аннуитета пренумерандо в (1+r) раз больше наращенной суммы постнумерандо.

Множитель называется фактором будущей стоимости авансового аннуитета.

Для аннуитета пренумерандо с начислением процентов m раз в течение базового периода, используя формулу

получим:

Пусть в течение базового периода денежные поступления происходят р раз. Тогда с учетом того, что можно записать

Пусть денежные поступления происходят р раз и проценты начисляются m раз за период. Тогда с учетом можно записать