4.2. Функция №2 – текущая стоимость единицы. Дисконтирование по сложной процентной ставке

Математическое дисконтирование единицы.

Капитал PV, который через n лет при наращении по сложным процентам по ставке r будет равен FV определяется по формуле:

где FV - доход, планируемый к получению через n лет,

PV - текущая (или приведенная) стоимость, т.е. оценка величины FV с позиции текущего момента,

r - процентная ставка.

Разность между FV и PV называется дисконтом (D).

где - множитель дисконтирования или дисконтный множитель.

- коэффициент дисконтирования.

Экономический смысл дисконтного множителя FM2(r,n) заключается в следующем: он показывает «сегодняшнюю» цену одной денежной единицы будущего, т.е. чему с позиции текущего момента равна одна денежная единица, циркулирующая в сфере бизнеса n периодов спустя от момента расчета, при заданной процентной ставке (доходности) r.

Множитель FM2(r,n) называют фактором текущей стоимости будущего капитала.

При m – кратном начислении процентов в год:

Дисконтирование при смешанной схеме:

4.3. Функция №3 – текущая (приведенная) стоимость аннуитета (дисконтирование – обратная задача)

4.3.1. Определение текущей стоимости аннуитета

Обратная задача подразумевает оценку с позиции текущего момента, т.е. на конец периода. В этом случае реализуется схема дисконтирования, а расчет необходимо вести по приведенному потоку, все элементы которого с помощью дисконтных множителей приведены к настоящему моменту времени.

Элементы приведенного денежного потока можно суммировать. Их сумма характеризует приведенную или текущую стоимость аннуитета, которую при необходимости можно сравнивать с величиной первоначальной инвестиции.

Схема дисконтирования для исходного потока постнумерандо

Приведенный денежный поток для исходного потока постнумерандо имеет вид:

Приведенная стоимость денежного потока (аннуитета) постнумерандо рассчитывается по формуле:

где множитель дисконтирования.

Оценка с позиции настоящего потока будущих доходов носит также название капитализации доходов.

Схема дисконтирования для исходного потока пренумерандо

Приведенный денежный поток для исходного потока пренумерандо имеет вид:

Приведенная стоимость потока пренумерандо рассчитывается по формуле:

где - множитель дисконтирования.

PV_pre = PV_pst (1+r)

Оценка постоянного аннуитета постнумерандо

Производится оценка будущих денежных поступлений с позиции текущего момента, под которым в данном случае понимается момент времени, начиная с которого отсчитываются равные временные интервалы, входящие в аннуитет.

Член аннуитета равен А, срок аннуитета – n, дисконтирование ежегодное. В этих условиях дисконтированная величина:

первого платежа равна

второго платежа равна

………

последнего платежа равна

эти величины образуют ряд, соответствующий геометрической прогрессии с первым членом Av и знаменателем v.

Сумма членов этой прогрессии равна:

где - коэффициент дисконтирования аннуитета.

где - множитель дисконтирования,

А – член аннуитета,

- коэффициент наращения аннуитета.

Экономический смысл дисконтного множителя заключается в следующем. Он показывает, чему равна с позиции текущего момента стоимость аннуитета с регулярными денежными поступлениями в размере одной денежной единицы (например, 1 рубль), продолжающегося n равных периодов с заданной процентной ставкой r.

Дисконтный множитель называется фактором текущей стоимости обычного аннуитета (третья функция сложного процента).

Для постоянного аннуитета постнумерандо с начислением сложных процентов m раз за базовый период приведенный денежный поток имеет вид:

Следовательно сумма этих величин (приведенная стоимость аннуитета) равна (геометрическая прогрессия с членом и знаменателем ):

Таким образом:

Для р- срочных аннуитетов с начислением сложных процентов один раз за базовый период формула определения текущей стоимости аннуитета выводится следующим образом.

Число членов аннуитета составляет np.

Величина первого платежа составляет

Величина второго платежа составляет

Величина последнего платежа составляет

Первый член геометрической прогрессии равен , знаменатель геометрической прогрессии равен .

Таким образом

Для р- срочных аннуитетов с начислением сложных процентов m раз за базовый период формула имеет вид

Проценты, полученные по учетной ставке называются антисипативными.

При антисипативном начислении процентов по сложной учетной ставке d наращенный денежный поток (при m=1, p=1), начиная с последнего денежного поступления, примет вид:

Следовательно:

Бессрочный аннуитет.

Аннуитет называется бессрочным, если денежные поступления продолжаются достаточно длительное время. Математически это означает, что n→

(пример бессрочного аннуитета –выпускаемые правительствами некоторых стран облигации, по которым производятся регулярные купонные выплаты, но которые не имеют фиксированного срока).

В этом случае прямая задача (определение будущей стоимости аннуитета) не имеет смысла. Имеет решение только задача об определении приведенной стоимости аннуитета.

Поток платежей в постоянном бессрочном аннуитете при одном денежном поступлении А за период, являющийся базовым для начисления процентов по ставке r, представляет собой бессрочно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом и знаменателем .

Для бессрочного аннуитета постнумерандо используя формулу получим:

Таким образом

где FM4(r,n) =1/r.

Формула показывает, что поток с даже неограниченным числом платежей имеет все же конечную приведенную стоимость.

Из формулы следует:

Если

Пусть , для бессрочного аннуитета постнумерандо с денежными поступлениями р раз за базовый период и начислением сложных процентов m раз за базовый период получим:

Приведенная стоимость бессрочно аннуитета пренумерандо в общем виде определяется с помощью приведенной стоимости бессрочного аннуитета постнумерандо по формуле

При р=1, m=1 из этой формулы следует (при ):

Таким образом приведенная стоимость бессрочного аннуитета пренумерандо отличается от таковой для постнумерандо на величину первого платежа.

Оценка постоянного аннуитета пренумерандо

Приведенная стоимость постоянного аннуитета пренумерандо определяется по формуле:

Приведенная стоимость постоянного р-срочного аннуитета пренумерандо определяется по формулам:

Иногда множитель называют фактором текущей стоимости авансового аннуитета.

В случае антисипативного начисления процентов формула для оценки аннуитета пренумерандо имеет вид:

где d – учетная ставка.