7.2.2. Складні відсотки

У середньостроковій і довгостроковій фінансово-кредитній операціях, якщо відсотки не виплачуються відразу ж після їхнього нарахування, а приєднуються до суми боргу, для нарощення застосовуються складні відсотки. База для нарахування складних відсотків збільшується з кожним періодом виплат.

Приєднання нарахованих відсотків до суми боргу, що служить базою для їхнього нарахування, називають капіталізацією відсотків.

Ф

(2.13)

ормула для розрахунку нарощеної суми наприкінці n-го року за умови, що відсотки нараховуються один раз у році, має вигляд:

де Р – початковий розмір боргу;

i – ставка нарощення по складних відсотках;

п – число років нарощення.

В

(2.14)

ідсотки за цей же період (п років) рівні:

В

(2.15)

еличина q=(1 + i)ⁿ називається множником нарощення по складних відсотках, а формула (2.13) є основною формулою складних відсотків. Відсотки за кожний наступний рік збільшуються. Для деякого проміжного року t відсотки рівні:

де t = 1, 2, ..., n.

П

(2.16)

ри використанні складних відсотків виникають ті ж проблеми, що і для простих відсотків. При нарахуванні відсотків у суміжних календарних періодах загальний термін позики поділяється на два періоди п₁ і п₂. Тоді відсотки I за весь термін n рівні

а

(2.17)

відсотки за кожен період п₁ і п₂ – відповідно

(2.18)

Н

(2.19)

еобхідно відзначити, що основна формула складних відсотків (2.13) припускає постійну процентну ставку протягом усього терміну нарахування відсотків. Однак часто використовують що плаваючі або змінні процентні ставки. Тоді нарощена сума розраховується так:

де i₁, i₂, ..., i_k – послідовні в часі значення процентних ставок;

п₁, п₂, ..., n_k – тривалість періодів, протягом яких використовуються відповідні ставки.

При нарахуванні відсотків при неповному числі років (n) використовується два методи розрахунку. Перший, загальний, метод полягає в прямому розрахунку по формулі (2.13). Другий, змішаний, спосіб розрахунку припускає нарахування відсотків за ціле число років (а) по формулі складних відсотків і по форм

(2.20)

улі простих відсотків за дробову частину періоду (b):

Відмітимо, що при розрахунку по змішаному методі результат виявляється більше, а при b = 1/2 різниця максимальна.

7.2.2.1. Нарощення та дисконтування по складних відсотках

Результат нарощення по складних відсотках зіставимо з результатом для простих відсотків. Так, для періоду позички менше року величина простих відсотків, як правило, більше складних. Для терміну більше року – зворотний результат.

В

(2.21)

ідсотки капіталізуються звичайно кілька разів у рік. Якщо річна номінальна ставка j, число періодів капіталізації в році дорівнює т, а загальна кількість періодів нарахування дорівнює N = пт, то щоразу відсотки нараховуються по ставці j/т. Тоді нарощена сума S визначається так:

S = P (1+j/m)^N

Ефективна ставка – це річна ставка складних відсотків, що дає той же результат, що і m-разове нарахування відсотків по ставці j/m.

Я

(2.22)

кщо позначити ефективну ставку через i, то вона визначається в такий спосіб:

Дисконтування по ставці складних відсотків, коли відсотки нараховуються т раз у році, здійснюється в такий спосіб:

Величина Р в цьому випадку називається теперішньою вартістю S, а величина D – дисконтом.

(2.23)

(2.24)

П

(2.25)

ри розрахунку по складній дисконтній ставці (d) процес дисконтування відбувається з уповільненням, тому що дисконтна ставка застосовується до суми, уже дисконтованої на попередньому етапі:

де d – складна річна дисконтна ставка.

Якщо дисконтування по дисконтній ставці проводиться кілька разів у році (т раз), то використовуються поняття номінальної (f) і ефективної (g) дисконтних ставок:

(2.26)

Е

(2.27)

фективна дисконтна ставка характеризує результат дисконтування за рік. Нарощення по складній дисконтній ставці (d) виконується так:

(2.28)

7.2.2.2. Визначення терміну платежу і процентних ставок

Т

(2.29)

ермін платежу (п) розраховується різним образом для номінальної (j) і ефективної (i) процентної ставки:

(2.30)

П

(2.31)

ри дисконтуванні по складній річній дисконтній ставці (d) і по номінальній дисконтній ставці (f) термін платежу визначається по формулах:

(2.32)

П

(2.33)

ри нарощенні по складній річній ставці відсотка (i) і по номінальній процентній ставці (j) т раз у році:

(2.34)

П

(2.35)

ри дисконтуванні по складній дисконтній ставці (d) і по номінальній дисконтній ставці (f):

(2.36)