Сложение гармонических колебаний, направленных вдоль одной прямой.

Смещение тела, участвующего одновременно в двух или нескольких колебаниях, находится на основании принципа суперпозиции, согласно которому эти колебания накладываются, не влияя одно на другое.

Пусть материальная точка участвует в двух гармонических колебаниях, направленных вдоль одной прямой, круговые частоты этих колебаний одинаковы, а начальные фазы различны. Такие колебания описываются уравнениями:

При сложении колебаний направленных по одной прямой результирующее смещение точки в любой момент времени равно сумме смещений, которые точка имела бы в каждом из колебаний в отдельности в тот же момент времени:

Такое сложение значительно облегчается, если использовать метод векторной диаграммы. Векторной диаграммой называется графическое изображение колебаний в виде векторов на плоскости (рис. 2.4.).

Рис. 2.4.

На плоскости из точки отложим под углом к оси вектор , длина которого равна амплитуде первого колебания . Из точки отложим под углом к оси вектор , длина которого равна амплитуде второго колебания . Проекция векторов и на ось равна соответственно смещению и . Если привести векторы и во вращение с круговой частотой , то смещения и будут изменяться по гармоническому закону. Сложим векторы и геометрически по правилу параллелограмма. Результатом сложения является вектор длина которого равна амплитуде результирующего колебания. Проекция этого вектора на ось равна сумме проекций слагаемых векторов: . Следовательно, вектор представляет собой результирующее гармоническое колебание

Амплитуда результирующего колебания

Частные случаи:

1 ) если , где , то амплитуда результирующего колебания равна

2) если где , то амплитуда результирующего колебания равна

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Допустим, что материальная точка может совершать колебания как вдоль оси Ох, так и вдоль оси Оy с одинаковой круговой частотой ₀. Тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом:

Рис. 2.5.

Если возбудить оба колебания, то материальная точка будет двигаться по некоторой криволинейной траектории, форма которой зависит от разности фаз колебаний.

1. если , то материальная точка движется по траектории, заданной уравнением эллипса:

Если , где , то и материальная точка совершает колебания вдоль этой прямой (рис. 2.6, рис. 2.7)

Рис. 2.6	Рис. 2.7

Если , то материальная точка движется по траектории, заданной уравнением

Это уравнение эллипса, расположенного симметрично относительно осей координат (рис.2.8). Если при разности фаз, , амплитуды равны ( ), то материальная точка движется по траектории (рис. 2.9), заданной уравнением окружности.

Рис. 2.8	Рис. 2.9

Фигурами Лиссажу называются траектории материальной точки, которые получаются при сложении взаимно перпендикулярных колебаний.