Глава VI. Теория потенциала

Каждый из методов, развитых в предыдущих главах, имеет свои преимущества и свои недостатки. Так, вариационные методы требуют, чтобы оператор задачи был положительно определенным, что значительно сужает границы применимости этих методов. Функции Грина эффективно строятся лишь для достаточно простых областей. Метод разделения переменных дает решение в виде ряда и накладывает дополнительные требования гладкости на начальные и граничные условия.

Ценность рассмотренного в этой главе метода потенциалов, созданного независимо Д. Грином (1828) и К. Гауссом (1840), заключается в том, что он свободен от ряда присущих другим методам трудностей. Однако его применение, особенно в случае областей с негладкой границей, связано с громоздкими вычислениями.

§ 1. Понятие о потенциалах

Потенциалом векторного поля называется такая скалярная функция, что. Полепри этом называется потенциальным. Потенциал является важной характеристикой физических полей: электрического, гравитационного и др.

Для введения потенциалов воспользуемся физическими аналогиями. Пусть в некоторой точке пространства помещен точечный заряд, создающий электростатическое поле. Напряженностьэтого поля в точке равна где- коэффициент пропорциональности, зависящий от выбранной системы единиц (в дальнейшем будем для простоты считать),,.

Координаты

, ,

вектора равны частным производным по,иот функции

(1)

т.е.. Поэтому функцияявляетсяпотенциалом электростатического поля, созданного точечным зарядом. Постоянную в (1) принято полагать равной нулю, чтобы .

В соответствии с законами физики потенциалы, создаваемые зарядами, складываются. Поэтому если заряд распределен по объему с объемной плотностью, то в точке, он создаетобъемный потенциал

. (2)

Если заряд распределен по поверхности с поверхностной плотностью, то он создает потенциал

(3)

который называется потенциалом простого слоя.

Представим теперь, что два точечных заряда инаходятся на осии стремятся с разных сторон к расположенной на той же оси фиксированной точке(рис. 27). Предположим, что зарядв процессе движения меняется так, что(- расстояние между зарядами). Тогда предел потенциала, созданного этими зарядами в точке, равен

где Предельное расположение зарядов в физике называютдиполем, -моментом диполя, а -осью диполя.

Пусть теперь дана ориентированная поверхность и на ней распределен диполь с плотностью моментапричем в каждой точкенаправление оси диполя совпадает с направлением внутренней нормаликв точкеТогда создаваемый этим диполем потенциал равен

(4)

где . Интеграл (4) называетсяпотенциалом двойного слоя.

Если считать, что , а нормальбрать внешнюю, то потенциал двойного слоя можно записать другим способом:

(5)

где - угол между нормальюв точкеи вектором

Замечание. Если поверхность незамкнутая, то ее следует считать двусторонней, так как потенциал двойного слоя определяется только для таких поверхностей.

Аналогично вводятся потенциалы для функций двух переменных. Интеграл

(6)

где область ,-поверхностная плотность,называетсялогарифмическим потенциалом поверхности.

Логарифмические потенциалы простого и двойного слоев для функций двух переменных определяются соответственно равенствами

(7)

(8)

где Г - некоторая кривая, - линейная плотность простого слоя,-плотность момента двойного слоя,-угол между внутренней нормалью к линииГ и вектором

Если точка М находится вне области интегрирования, то в формулах для всех потенциалов подынтегральные функции и их производные по всем переменным непрерывны. Поэтому в точках, лежащих вне области интегрирования, производные потенциалов можно вычислять дифференцированием под знаком интеграла. Отсюда следует, что если плотности суммируемы, то потенциалы гармоничны в любой области, конечной или бесконечной, замыкание которой не имеет общих точек с областью интегрирования. Если поверхность Ф (кривая Г) делит пространство (плоскость) на две области, внутреннюю и внешнюю, то каждый из потенциалов простого и двойного слоя определяет две гармонические функции: одну – во внутренней области, другую – во внешней.

Задача 1. Вычислить объемный потенциал для шара радиуса с центром в начале координатО с плотностями:

1) , 2), 3).

Задача 2. Вычислить объемный потенциал для сферического слоя с плотностью: 1), 2).

Задача 3. Вычислить объемный потенциал в точках оси , если масса распределена в цилиндре,с постоянной плотностью.

Задача 4. Найти потенциалы простого и двойного слоя с постоянной плотностью для сферы .