§ 7. Теорема единственности решения внешней задачи Неймана и внешней смешанной задачи

Теорема. Внешняя смешанная краевая задача

(1)

с непрерывными функциями иприимеет не более одного решения.

Доказательство. Предположим, что задача (1) имеет два решения и. Тогда разностьудовлетворяет соотношениям

(2)

и регулярна на бесконечности. Поэтому для неё выполняются условия

(3)

где ,. Возьмем сферус центром в начале координатдостаточно большого радиуса, так чтобы границаобластилежала внутри сферы. Обозначим черезчасть области, ограниченную поверхностямии. Применим формулу Грина (6) § 4 гл.I к области . Учитывая, чтов, запишем

. (4)

Второе из соотношений (2) приводит к равенству

(5)

Из неравенств (3) получаем

Тогда при достаточно больших из (4) и (5) имеем

для любого . Приэто возможно только при условии. Значит. Но, поэтому, т.е.. Поэтому смешанная задача имеет не более одного решения.

Если , смешанная краевая задача превращается в задачу Неймана, которая, следовательно, также имеет не более одного решения.

Задача 1. Доказать, что в любые два решения внешней задачи Неймана для уравнения Пуассона могут отличаться только на постоянное слагаемое.

Задача 2. Построить функции Грина для внутренней и внешней задач Неймана для шара, круга и полупространства.

Задача 3. Построить функции Грина для внутренней и внешней смешанной задачи для шара, круга и полупространства.

§ 8. Конформные отображения

Для решения задач Дирихле и Неймана на плоскости часто используют метод конформных преобразований. Связано это с тем, что конформное преобразование переводит гармоническую функцию в гармоническую, задачу Дирихле в задачу Дирихле и задачу Неймана в задачу Неймана (см. ниже). Поэтому, зная, например, решение задачи Дирихле для круга и имея конформное преобразование круга в заданную область, легко написать решение задачи Дирихле для этой области.

Приведем необходимые сведения о конформных отображениях на плоскости. Пусть аналитическая в областифункция. Значения функции будем изображать точкамив плоскости, комплексные числа- точкамив плоскости. При движении точкив областипо некоторой линиисоответствующая ей точкаопишет некоторую кривуюв плоскости, являющуюся образомпри отображении(рис. 21).

Пусть точкастремится к точкепо линии, а соответствующая точкастремится к точкепо линии. По определению производной

Отсюда ,. Пусть- угол, образованный касательной к линиив точкеи осью,- угол, образованный касательной к соответствующей линии в точке и осью. Тогда

(1)

(Разумеется, мы предполагаем, что касательные существуют и , т.к. в противном случае уголне определен). Из приведенных рассуждений видно, чтоможно рассматривать как коэффициент растяжения в точке , а -как угол поворота в точке при отображении . Ясно, что коэффициент растяжения и угол поворота зависят только от точки и не зависят от выбора кривой .

Пусть через точку проходит ещё одна кривая и пусть- её образ при отображении . Обозначим через иуглы, образованные касательными в точках и с осями координатисоответственно. Из (1) следует равенство. Значит,или. Таким образом,аналитическое отображение сохраняет величину угла в любой точке, в которой .

Определение. Отображение посредством непрерывной функции, сохраняющее углы между кривыми, проходящими через данную точку, называется конформным в этой точке. Если сохраняется ещё и направление отсчёта углов, отображение называют конформным отображением первого рода. Если направление меняется на противоположное, то говорят о конформном отображении второго рода. Отображение, конформное в каждой точке области ,называется конформным в .

Предыдущие рассуждения доказывают следующую теорему.

Теорема 1. Аналитическая в области функция осуществляет конформное отображение первого рода во всех точках, в которых её производная отлична от нуля.

Пример 1. Дробно-рациональная функция аналитична в области. Её производнаяв областиотлична от нуля. Поэтому по теореме 1 данная функция конформно отображаетв плоскость, причем коэффициент растяжения в любой точкеравен.

Рассмотрим некоторые элементарные функции

и задаваемые ими конформные отображения.

1. Линейные функции. Пусть ,. Функцияаналитическая в. Если, то коэффициент растяжения,, поэтому функция определяет конформное отображение первого рода с постоянным коэффициентом растяженияи постоянным углом поворота.

Пусть ,,. Найдем образ прямойс фиксированнымипри отображении . Так как , то

Исключив получим уравнение образа прямойв плоскости:

(2)

Очевидно, что это прямая с угловым коэффициентом .

Аналогично, прямая перейдет в прямую

(3)

сугловым коэффициентом. Очевидно, что прямые (2) и (3) ортогональны, поэтому прямоугольная сетка в плоскостиперейдет в прямоугольную сетку в плоскости, растянутую враз и повернутую на угол(рис. 22). Коэффициентпри этом определяет "сдвиг" сетки на вектор.

2. Функция задает взаимно-однозначное отображение плоскостина себя, причем точкесоответствует бесконечно удаленная точка. Для исследования этой функции введем полярные координаты, положив,. Так как, то, очевидно,,. Другими словами, точка с координатамикомплексной плоскостиданным отображением переводится в точкуплоскости. Отсюда следует, что окружность единичного радиуса с центром в начале координат переходит в себя, угол- в угол, внешность единичной окружности - на внутренность и наоборот.

Задача 1. Найти образ прямой при отображении.

Задача 2. Найти образ прямоугольной сетки, образованной концентрическими окружностями и исходящими из начала координат лучами, при преобразовании.

Задача 3. Доказать, что отображение является конформным отображением второго рода.

3. Функция задает отображение, конформное всюду вкроме точеки. Если в плоскостяхиввести полярные координаты, положиви, то, очевидно,, откудаи. Отсюда видно, что отображение, осуществляемое функцией, сводится к повороту каждого векторана уголи растяжению его враз. Ясно, что точкиис равными модулями и аргументами, отличающимися на целое кратное, отображаются в одну точку. Поэтому для взаимной однозначности аналитической функциив некоторой областинеобходимо и достаточно, чтобы областьне содержала двух точеки, связанных соотношениями,. Этим условиям удовлетворяют, например, секторы

каждый из которых при отображении преобразуется в плоскость. При этом все лучи, исходящие из точки, переходят в лучи, исходящие из точки, а дуги концентрических окружностей - в концентрические окружности (разумеется, другого радиуса при). Секторрастворапреобразуется в сектор.

4. Функция - обратная к функции,- значная при. Если, то, как известно, имеетсязначений (ветвей)

Если любую ветвь рассмотреть в множествебез луча, совпадающего с положительной полуосью, то в силуветвьфункцииконформно отобразит это множество на сектор.

5. Показательная функция периодична с периодом. Поэтому достаточно изучить её свойства в полосе.

Введем в плоскостиполярные координаты, положив. Тогда, поэтому,. Отсюда следует, что отображениепреобразует прямыев лучи, отрезки,- в окружности. Полосапреобразуется при этом в плоскостьс разрезом вдоль положительной полуоси, половина этой полосы- в верхнюю полуплоскость. Очевидно, что в силу- периодичности любая полосапреобразуется в плоскость с вырезанным лучом. Ясно также, что показательная функциявзаимно однозначно и конформно отображает полосу ширины, параллельную вещественной оси, на угол растворас вершиной в начале координат (рис.23).

Задача 4. Найти образ прямой при отображении. (Ответ. Логарифмическая спираль)

6. Логарифмическая функция определяется как обратная показательной. В силу соотношения логарифмическая функция многозначна. Каждая ветвь осуществляет конформное отображение комплексной плоскости с вырезанным лучом на полосу.

Задача 5. Изучить свойства:

1) общей степенной функции ;

2) общей показательной функции ;

3) тригонометрических функций .

7. Дробно - рациональная функция . В силу равенства

дробно - рациональную функцию можно изучать как композицию функций и. Не останавливаясь на этом, приведем сводку результатов, используемых далее ([23], гл.II, III).

Теорема 2. Дробно – рациональная функция осуществляет конформное отображение полной- плоскости на полную- плоскость. При этом окружность переходит в окружность, любая пара точек, симметричных относительно окружности, переходит в пару точек, симметричных относительно образа этой окружности.

Теорема 3. Существует единственное дробно – рациональное отображение полной - плоскости на полную- плоскость, переводящее три произвольные различные точки в три произвольные различные точки.

Теорема 4. Каковы бы ни были прямые или окружности ии две тройки точеки, принадлежащиеисоответственно, существует единственная дробно – рациональная функцияотображающаянатак, что точки отображаются соответственно в точки . При этом область, лежащая по одну сторону от линиипри направлении обхода, отобразится в область, лежащую по ту же сторону от линиипри направлении обхода. В неявном виде отображениедается формулой

(4)

Замечание. Формула (4) работает и тогда, когда некоторые из чисел илиобращаются в. В этом случае следует воспользоваться формальным правилом: разность, в которой встречается, следует заменить на 1.

Задача 6. Обосновать "формальное правило", данное в замечании.

Пример 2. Отобразить верхнюю полуплоскость на единичный круг с центром в начале координат.

Решение. Возьмем точки итак, как указано на рис. 24, и напишем для этих точек уравнение (4). После несложных преобразований получим искомую функцию. Заметим, что осьотобразится при этом на окружность.

Пример 3. Конформно отобразить сектор на круг.

Решение. Функция отобразит заданный сектор на верхнюю полуплоскость (см.). Отображение, рассмотренное в примере 2, переведет верхнюю полуплоскость на единичный круг. Наконец, линейная функцияотобразит этот круг на заданный.

Пример 4. Найти дробно - рациональную функцию, переводящую точки в точкисоответственно.

Решение. Применив формулу (4) и замечание к теореме 4, получаем искомое отображение . По теореме 4 это отображение конформно преобразует верхнюю полуплоскость на верхнюю полуплоскость.

Задача 7. Доказать, что функция с произвольным вещественнымконформно отображает кругна себя. При этом произвольная точкакруга переходит в центр.

Задача 8. Найти дробно - рациональную функцию, которая круг отображает на кругпричем так, чтопереходит ва- в.

Задача 9. Отобразить полосу на круг.

Задача 10. Отобразить полукруг ,на полуплоскостьУказание. Применить функцию Жуковского