Глава 3. Теоремы сложения и умножения вероятностей. § 3.1, 3.2

Теоретический материал

1. Отношения между событиями

Отношения между событиями можно рассматривать как отношения между соответствующими подмножествами множества элементарных событий Ω.

1) Сумма: А U В выполняется тогда, когда происходит хотя бы одно из этих событий.

2) Произведение: А ∩ В выполняется тогда, когда происходят оба события (и А, и В).

2. Теоремы сложения вероятностей

Вероятность суммы событий А U В определяется следующей формулой:

Р(АU В) = Р(А) + Р(В) - Р(А ∩ В)

Если события несовместны, то формула принимает вид:

Р(А U В) = Р(А) + Р(В)

Учитывая, что A U = Ω, получаем: Р(А) + Р( ) = 1

3. Теоремы умножения вероятностей

События являются независимыми, если вероятность происхождения одного события не зависит от того, произошло ли другое событие, или нет. Если события независимы, то

Р(А ∩ В) = Р(А) · Р(В)

Вопросы к теме

1. Чему равна вероятность суммы двух несовместных событий?

…………………………………………………………………

2. Чему равна сумма вероятностей противоположных событий?

…………………………………………………………………

3. Сформулируйте теорему о вероятности суммы совместных событий.

…………………………………………………………………

4. При каком условии вероятность суммы двух случайных событий равна сумме вероятностей этих событий?

…………………………………………………………………

5. Чему равна вероятность произведения двух независимых событий?

…………………………………………………………………

6. Сформулируйте теорему о вероятности произведения независимых событий.

…………………………………………………………………

…………………………………………………………………

7. При каком условии вероятность произведения двух случайных событий равна произведению вероятностей этих событий?

…………………………………………………………………

Задачи к практической работе

Задача № 1

В урне 5 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них имеется: а) 2 белых шара; б) меньше чем 2 белых шара;

в) хотя бы один белый шар.

Дано: …………………………………………………………

…………………………………………………………………

…………………………………………………………………

…………………………………………………………………

…………………………………………………………………

Найти: …………………………………………………………

Решение:

Решим задачу по формуле классического определения вероятности: …………………………………………………………………

Число равновозможных исходов найдем в соответствии с испытанием: всего …………………………., выбирают из них ………………………. По формуле …………………….. из …………. по ………. найдем n. Тогда n = ………………………………………………………

а) A - среди вынутых шаров 2 белых. Значит, среди вынутых шаров 2 белых и 2 черных. A = ……………………………………………

Число исходов события A найдем по формуле , где m₁ – число способов выбрать 2 белых шара, а m₂ - число способов выбрать 2 черных шара. И белые, и черные шары берут одновременно, поэтому число способов выбора шаров перемножаем.

Белых шаров 6, берут из них 2, значит m₁ = ………………………

Черных шаров ......., берут из них ........, значит m₂ = ………………

=………………………………………………..........

Вероятность события А равна: = …………………………

б) В - среди вынутых шаров меньше чем 2 белых. Это событие состоит из двух несовместных событий: B₁ - среди вынутых шаров только один белый и 3 черных. B₂ - среди вынутых шаров нет ни одного белого, все 4 шара черные. Так как события B₁ и B₂ несовместны, можно использовать формулу:

Вероятности событий B₁ и B₂ по формуле классического определения вероятности: …………………Число исходов события B₁ найдем по формуле , где m₁ – число способов выбрать 1 белый шар, а m₂ - число способов выбрать 3 черных шара. Белых шаров 6, берут из них 1, значит m₁ = ………………………………………………

Черных шаров ......, берут из них ........, значит

m₂ = ………………………… =……………………

B₂= {4 черных} Черных шаров ...., берут из них ....., значит m = ……..

Вероятности событий B₁ и B₂ равны: …………………… …………………… = ………………

в) C – среди вынутых шаров хотя бы один белый. Здесь событие C определяется словами "хотя бы один" и прямое решение приводит обычно к сложным вычислениям. Этому событию удовлетворяют следующие сочетания шаров: 1 белый и 3 черных (C₁), 2 белых и 2 черных (C₂), 3 белых и 1 черный (C₃), 4 белых (C₄). Имеем: C = C₁ + C₂ + C₃ + C₄. Для вычисления вероятности события C необходимо найти вероятности четырёх событий C₁, C₂, C₃, C₄.

Проще сначала найти вероятность противоположного события и затем вычислить вероятность искомого события. Противоположным событию C является событие - среди вынутых шаров нет ни одного белого, = {4 черных} = B₂

= ……………

………………………………………………

Ответ: …………, ……………., ……………..

Задача № 2

Устройство состоит из трех независимых элементов, работающих в течение времени Т безотказно соответственно с вероятностями 0,851, 0,751 и 0,701. Найти вероятность того, что за время Т выйдет из строя: а) только один элемент; б) хотя бы один элемент. Дано: …………………………………………………………

…………………………………………………………………

…………………………………………………………………

…………………………………………………………………

…………………………………………………………………

Найти: ………………………………………………………………

Решение:

Дано сложное испытание – работа устройства, состоявшего из 3-х элементов. Испытание, т.е. работу за время Т нужно рассмотреть на двух уровнях: на уровне устройства и на уровне элементов.

Введем элементарные события: B_i – i-ый элемент не выходит из строя; - i-ый элемент выходит из строя.

а) A – за время Т выходит из строя только один элемент. Выразим А, через элементарные события. Событие A происходит тогда, когда выходит из строя либо только 1-й, либо только 2-й, либо только 3-й элемент.

А = {НРР, РНР, РРН} = …………………………………

Учитывая независимость элементов устройства, несовместимость событий _{применим теоремы сложения и умножения вероятностей P(A) = ………………………………….........}

Вероятности элементарных событий В_i определять не надо, так как эти вероятности заданы по условию.

P(B₁) = p₁ = ………….., P(B₂) = p₂ = ……………., P(B₃) = ………….……….

В_i и - противоположные события. …………………………………………………………….

…………………………………………………………………

…………………………………………………………………

Вычислим вероятность события A.

_{P(A) = …………………………………..........................}

…………………………………………………………………

б) B – за время Т выходит из строя хотя бы один элемент.

Событие определяется словами "хотя бы один", значит, используем противоположное событие - за время Т все элементы работают безотказно. = { РРР} = ………………………………………………….

Найдем вероятность события :

…………………………………………………………………

P(B) = ………………………………………………………………………….

Ответ: ………………………………………………………………………

Задачи индивидуального задания к практической работе № 2

Задача 1

В урне содержится К черных и Н белых шаров. Случайным образом вынимают М шаров. Найти вероятность того, что среди них имеется: а) Р белых шаров; б) меньше, чем Р белых шаров; в) хотя бы один белый шар.

Значения параметров К, Н, М и Р по вариантам

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
K H M P	5 6 5 3	6 5 4 2	6 5 5 3	7 4 4 2	4 5 4 2	8 6 5 3	6 7 4 4	4 7 4 2	5 6 5 3	7 4 4 2	8 6 4 3	6 5 4 3	4 6 4 3	8 6 5 2	5 6 5 4

Задача 2

Устройство состоит из трех независимых элементов, работающих в течение времени Т безотказно соответственно с вероятностями p₁, p₂ и p₃ . Найти вероятность того, что за время Т выйдет из строя: а) только один элемент; б) хотя бы один элемент.

Значения параметров вычислить по следующим формулам:

, где V – номер варианта

p₁ = 1 - k , p₂ = 0.9 - k , p₃ = 0.85 - k

Вычисление параметров

V = ….., ……………

p₁ = 1 - …… = …....... , p₂ = 0.9 - …... = …….. , p₃ = 0.85 - .….. = ….…

Практическая работа № 3

«Формула полной вероятности. Вычисление вероятностей гипотез»

Дидактическая цель. Применение полученных знаний, умений и навыков в процессе выполнении самостоятельной вычислительной работы.

 Знать:

– формулу полной вероятности;

– формулу Байеса

 Уметь:

– находить полную вероятность;

– находить вероятности гипотез

Основные вопросы темы:

• Условная вероятность

• Формула полной вероятности

• Формулы Байеса

Домашнее задание

Конспект по теме [1] Калинина В. Н.