Добавил:

sava Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Государственный университет — учебно-научно-производственный комплекс (бывш. ОрелГТУ)

Предмет:

Теория вероятностей и математическая статистика

Файл:

Теория вероятностей. Чудесенко. 18 Вариант

.pdf

Скачиваний:

243

Добавлен:

13.06.2014

Размер:

105.26 Кб

Скачать

☆

Скачано с http://antigtu.ru

Задача 1. Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что:

а) сумма числа очков не превосходит N;															.	ru
б) произведение числа очков не превосходит N;
в) произведение числа очков делится на N.
N=12													Решение:
а)			1		2	3	4	5			6		Решение:
			1		2	3	4	5			6
		1	2		3	4	5	6			7
		2	3		4	5	6	7			8
		3	4		5	6	7	8			9
		4	5		6	7	8	9		10
		5	6		7	8	9	10		11
		6	7		8	9	10	11		12
	P =			m
	P =			n
				n
n = 36 -количество возможных исходов.
m = 36 -количество благоприятных исходов.
	P =		36		= 1									antiGTU
б)			36
б)												с
		Ä	1		2		3	4	5		6
		Ä	1		2		3	4	5		6
		1	1		2		3	4	5		6
		2	2		4		6	8	10		12
		3	3		6		9	12	´		´
		3	3		6		9	12	´		´
		4	4		8		12	´	´		´
		5	5		10		´	´	´		´
		6	6		12		´	´	´		´
		6	6		12		´	´	´		´
	P =			m
	P =			n
				n
n = 36 -количество возмож ых исходов
m = 23 -количество благополуч ых исходов
	P =		23		» 0,64
в)			36
в)
		Ä	1		2		3	4	5		6
		Ä	1		2		3	4	5		6
		1	´		´		´	´	´		´
		2	´		´		´	´	´		12
		3	´		´		´	12	´		´
		4	´		´		12	´	´		24
		5	´		´		´	´	´		´
		6	´		12		´	24	´		36
		Скачано
		Скачано

P =	m				.	ru
P =	n
	n
n = 36
m = 7				antiGTU
P =	7	»	0,19	antiGTU
P =		»	0,19
36
Ответ: 1; 0,64; 0,19.

Задача 3. Среди п лотерейных билетов k выигрышных. Наудачу взяли т билетов. Определить вероятность того, что среди них l выигрышных.

n = 10 , l = 5 , m = 7 , k = 7

Решение:

P = m n

Число возможных исходов:

n = C7

10!

= 8×9×10 =120

7!×3!

2×3

Число благоприятных исходов:

5 выигрышных из 7 можно взять C

способами, а ещё 2 невыигрышных из 3 можно

выбрать C

2 способами.

m = C5

×C 2

= 6×7 × 6 = 63

2!×5!

2!×1! 2 2

P =

= 0,525

120

Ответ:

P = 0,525

Задача 4. В лифт k - этажного дома

ели n пассажиров (n<k). Каждый независимо от

других с одинаковой вероятно тью может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Определить вероятность того, что:

а) все вышли на разных этажах; б) по крайней мере, двое сошли на одном этаже.

k = 7, n = 4

а) Количество возм жных исх д в: N = (k -1)n = 64 = 1296

Количество благоприят ых исходов:

m = Ck1−1 ×Ck1−2 ×Ck1−3 ×Ck1−4 = C61 ×C51 ×C41 ×C31 = 6 ×5×4 ×3 = 360

P =	m	=	360	= 0,2(7) » 0,28 » 28%

1	n	1296

б) В зада е ре ь идёт про событие противоположное первому, значит
P = 100% − P = 72%
		1
Ответ: P = 28% , P = 72% .
		1

З д ча 5. В отрезке единичной длины на удачу появляется точка. Определить вероятность того, что расстояние от точки до обоих концов отрезка превосходит величину 1 . ( k = 7 )

Скачано	k
	Решение:

P =	m							.	ru
P =	n
	n
n = 1-длина отрезка, где появится точка.
n = 1-длина отрезка, где появится точка.
m =	6	-	1	=	5	-длина отрезка «благоприятного исхода»
	7		7		7		antiGTU
P =	5	»	0,71 = 71%				antiGTU
	7

Ответ: P ≈ 0,71

Задача 7. В круге радиуса R наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что она попадает в одну из двух непересекающихся фигур, площади которых равны S1 и S2 .

R = 14, S1 = 2,6 S2 = 1,8

Решение:

Мера вероятности - площадь.

Все варианты попадания точки - в круг.

Sкр = × R2 = 196×

Благоприятные - в фигурах S1 и S2

P =	2,6 +1,8	=	4,4	» 0,0071
	196×		615,44
Ответ: P ≈ 0,0071

Задача 8. В двух партиях k1 и k2 % доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди

них:	с
а) хотя бы одно бракованное;	с
а) хотя бы одно бракованное;
б) два бракованных;
в) одно доброкачественное и одно бракованное?
События:
Скачано
А-из первой партии достали бракованное.
В-из второй партии достали бракованное.
а) С-хотя бы одно брак ванн е.
		×0,78	= 0,696	= 69,6%
P (C ) = 1- p ( A × B) = 1- p ( A)× p	(B) = 1- 0,39	×0,78	= 0,696	= 69,6%

б) D-оба бракова ых:

P ( D) = p ( A)× p (B ) = (1- p1 )×(1- p2 ) = (1- 0,39)× (1- 0,78) = 0,61´ 0, 22 = 0,134 = 13, 4% в) Е-одно бракова ое и од о качественное.

P ( E ) = P (C ) - P (D ) = 69,6% -13, 4% = 56, 2% Ответ: P (C ) = 69,6% P (D ) = 13, 4% P (E ) = 56, 2%

Зада а 9. Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле первым стрелком p1 , вторым - p2 . Первый сделал n1 , второй - n2 выстрелов. Определить вероятность того, что

цель не пор жена.

Решение:

События:

Цель не поражена А - первый стрелок промахнулся 3 раза

В - второй стрелок промахнулся 2 раза

P ( A) = qn1	= (1- p )n1					ru
1	1				.
P (B) = qn2 = (1- p )n2
2	2
2	2
P ( A × B) = P ( A)× P (B) = (1- p )n1		×(1- p	)n2	=
	1	2		antiGTU
= 0,613 ×0,552 = 0, 227 ×0,303 » 0,07 » 7%				antiGTU
= 0,613 ×0,552 = 0, 227 ×0,303 » 0,07 » 7%
Ответ: P ≈ 7%
				3
Задача 12. Из 1000 ламп ni принадлежат i − й партии, i = 1,2,3, åni = 1000. В первой
				i=1

партии 6%, во второй 5%, в третьей 4% бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа - бракованная.


n1 = 620,		n2	= 190,		n3 = 1000 − 620 −190 = 190
Количество брака в первой партии:							Решение:

m1 = n1 ×0,06 = 37,2%
Количество брака во второй партии:
m2 = n2 ×0,05 = 9,5%
Количество брака в третьей партии:
m3 = n3 ×0,04 = 7,6%
P =	m1 + m2 + m3			= 37,2 + 9,5 + 7,6 =		54,3	= 5,43%
						1000
	n + n + n				1000
1		2	3
Ответ: P = 5,43%

Задача 15. В магазин поступают однотипныес изделия с трёх заводов, причём i − й завод

поставляет mi % изделий (i =1, 2,3) . Среди изделий i − го завода ni % первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказало ь первосортным. Определить вероятность того, что

купленное изделие выпущено третьим заводом.
Скачано					Решение:
					Решение:
m1 = 60,		m2 = 10, m3 = 30,	n1 = 80,		n2	= 90,	n3 = 80
P =		0,6×0,8	=		0,48		=	0,48	» 0,59 » 59%
P =	0,6×0,8 + 0,1×0,9 + 0,3×0,8		=	0,48 + 0,09		+ 0,24	=	0,81	» 0,59 » 59%
	0,6×0,8 + 0,1×0,9 + 0,3×0,8			0,48 + 0,09		+ 0,24		0,81

Ответ: 59%

Задача 17. Вероят ость выигрыша в лотерею на один билет равна p . Куплено n билетов.

Найти наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность. Решение:

Найдём н ивероятнейшее число выигравших билетов из неравенства:

n × p - q £ m0 £ n × p + q

n × p - q =15×0,5- 0,5 = 7

Значит, есть два наивероятнейших числа 7 и 8. Применима формула Бернулли:

Pn (m) = Cnm × pm × qn−m

P (7) = C157 × p7 × q8 = 7!15!×8!×(0,5)15 = 19,6% Ответ: m0 = 7,5 P = 19,6%

									ru
Задача 19. Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна p.
Поступило n вызовов. Определить вероятность m «сбоев».								.
m = 8,		n = 900,		p = 0,01
Так как		p ≤ 0,1 и npq ≤ 9, то применима формула Пуассона.
1	× ô	e 2	dt = -0.494				antiGTU
P900	(8)	= (np)m ×e-np		=	(900	×0,01)8 ×e-900×0,01	= 13,2%
		m!				8!

Ответ: 13,2%

Задача 20. Вероятность наступления некоторого события в каждом из n независимых испытаний равна p. Определить вероятность того, что число m наступлений события

удовлетворяют следующему неравенству: k1 ≤ m .

n = 100, p = 0,7, k1 = 70.

Решение:

æ n - np ö

æ k - np ö

Pn (k1 £ m £ n) = F ç

- F ç

npq

npq ø

F (x) =

-t2

òe 2 dt

x =

- np

70 -100×0,8

= -10 = -2,5

npq

100×0,8×0,2

x = n - np

= 100 -100×0,8

= 20 = 5

npq

100×0,8×0,2

− 2.5

− t2

õ0

Скачано

− t2

× ô

td= 0.5

õ0

F (-2,5) = -0.494 F (5) = 0.5

P (70 £ m £100) = 0,5 - (-0, 494) = 0,994 Ответ: 0,994.

Задача 21. Дана плотность распределения p(x) случайной величины . Найти параметр, математи еское ожидание M , дисперсию D , функцию распределения случайной

		ì ,		x Î[a,b],
		ï
величины , вероятность выполнения неравенства	x1 < < x2	p(x) = í	0,	x		[a,b].
величины , вероятность выполнения неравенства	x1 < < x2	p(x) = í	0,	x	Î	[a,b].
		ï
		î

a = −3, b = −1, x1 = −2, x2 = 0

Решение:

а) найдём параметр

òb dx = 1

- + 3 = 1 2 = 1

б) найдём математическое ожидание M :

a = M (x)

−1

= ò

4 - 4

= -2

−3

в) найдём дисперсию D :

−1

D (x) = ò (x - a)

= ò

(x + 2)

2 dx

× 2 dx =

−3

− 1

(x + 2)

dx ®

õ− 3

г) Найдём функцию распределения случайной величины :

При x < −3

antiGTU

F (x) = 0

При x > −1

F (x) = 1

При −3 < x < −1

F (x) = ò p (t )dt = 2 ×t

−3

, x < -3

ì0

+ 3

F (x) = íï

, -3 < x < -1

ï2

, x > -1

ï1

-1

д)Найдём вероятность выполнения неравенства −2 < < 0

−1

P (-2 < < 0) = ò

2 dx + ò 0dx = - 2

+1+ 0 = 2

−2

−1

0,5

-2

Скачано

Задача 27. Случайная величина имеет плотность распределения вероятностей

Найти плотность распределения вероятностей p (y)

случайной величины = ( )

p =

antiGTU

×chx

= 4 + 5

Так как функция = 4 + 5 монотонная, то:

4 = − 5

- 5

Найдём производную:

¢ = 1

Найдём интервал для

−∞ < < ∞

g ( y ) =

æ y - 5

×ch ç

Проверка в системе MathCAD:

∞

dy ® 1

p × cosh æ

y - 5

ö 4

è 4

Скачано

− ∞

] случайным образом выбрано n чисел, точнее,

Задача 33. На отрезке [0;

рассматриваются n независимых случайных величин 1, 2 , , n , равномерно

распределённых

а отрезке [0; ]. Найти вероятность того, что их сумма заключена

т.е. P íx1 < å i

< x2 ý

i=1

2028

ê0;

, P í152 < å i

< 160ý

13û

i=1

Решение:

æ x2 - a ö

æ x1 - a ö

P íx1 < å i < x2

ý =

÷ -

i=1

2028

y = å i

i=1

Так

ак распределение равномерное, то

(x) .

между

- 0÷

M =

ö2

antiGTU

0÷

L = ç

× ×

÷×e

D =

è13

M y

= n × M = 2028×

= 156

Dy = n × D = 2028×

= 52

= 7, 2

P (152 < y < 160)

160 -156 ö

152 -156 ö

= F ç

7, 2

- F ç

7, 2

÷ =

(0,556)+

(0,56) = 0, 2123+ 0, 2123 = 0, 4246

Ответ: 0,43 или 43%

Задача 34. Известно, что случайная величина имеет распределение Пуассона

P = ( = m) =

e−4 , неизвестным является параметр а. Используя указанный ниже метод

получения точечных оценок, найти по реализации выборки (x1x2 , , xn ) значения оценки

a* неизвестного параметра а (метод максимального правдоподобия)

x1 = 35,

x2 = 41,

x3 = 30,

= 36,

= 38,

= 42,

= 35,

= 32

æ a35

a41

a30

a36

a38

a42

a35

a32 ö

−8a

è 35!

41!

30!

36!

38!

42!

35!

32!ø

Скачано

ln L = -8a + ln

a35

+ ln

a41

+ ln

a30

+ ln

a36

+ ln

a38

+ ln

a42

+ ln

a35

+ ln

a32

35!

41!

30!

36!

38!

42!

35!

32!

= -8a + 289ln a - ln 35!- ln 41!- ln 30!- ln 36!- ln 38!- ln 42!- ln 35!- ln 32! =

Находим производную ln L по а :

d ln L

= -8 + 289

-8 + 289 = 0

a = 36,125 ≈ 36

Находим вторую производную ln L по а:

d 2 ln L

= -

289

da2

При a ≈ 36

d 2 ln L

< 0

Þ a

» 36 максимум исходной функции. Значит a* = a = 36

da2

Ответ: a* = 36

Задача 36. Случайная величина имеет нормальное распределение с неизвестным математическим ожиданием а и неизвестной дисперсией 2 . По выборке (x1x2 , , xn )

- a × < a < + a ×

объёма n вычислено выборочное среднее 1

å x1 =a* . Определить доверительный

n i=1

интервал для неизвестного параметра распределения a , отвечающий заданной

доверительной вероятности .

a* = 110, n = 130,

= 100, Ã= 0,90

antiGTU

Решение:

Ã= 1- Þ = 0,10

2×

(- a ) =

(- a ) = 0,05

a =

= a* = 110

2 = 10

110 - 0,13×

< a < 110 + 0,13×

130

109,9 < a < 110,1

Ответ: 109,9 < a < 110,1

Скачано

Соседние файлы в предмете Теория вероятностей и математическая статистика

#
13.06.20146.67 Mб142Теория вероятностей. Чудесенко. 12 вариант..pdf
#
13.06.20147.65 Mб254Теория вероятностей. Чудесенко. 17 Вариант.pdf
#
13.06.2014105.26 Кб243Теория вероятностей. Чудесенко. 18 Вариант.pdf
#
13.06.20141.24 Mб123Теория вероятностей. Чудесенко. 25 Вариант.pdf
#
13.06.2014781.43 Кб167Теория вероятностей. Чудесенко. 3 Вариант.pdf
#
13.06.20146.37 Mб88Теория вероятностей. Чудесенко. 8 Вариант.pdf
#
13.06.20144.15 Mб161Теория вероятностей. Чудесенко. 9 Вариант.pdf