Добавил:

sava Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Государственный университет — учебно-научно-производственный комплекс (бывш. ОрелГТУ)

Предмет:

Теория вероятностей и математическая статистика

Файл:

Теория вероятностей. Чудесенко. 25 Вариант

.pdf

Скачиваний:

136

Добавлен:

13.06.2014

Размер:

1.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Ч_2_21_25														1 - γ 1 + γ																									x2 = 3							ru
Ч_2_21_25
Дана плотность распределения вероятностей																										p(x) .					Найти: γ ,									математическое
oжидание Mξ , дисперсиюD ξ , вероятность выполнения неравенства x1 < ξ <																																																		x2 .
5)				P( 0 < ξ				3 ) = F (3) - F ( 0 ) = 1antiGTU- (0 + 0.5 ) = 0.75 , т.к. числo
5)				P( 0 < ξ		<
								0.5,				x Î[		1 - γ					;		1		+ γ	]														x1		= 0
														2									2															x1		= 0
					p(x) =																																			.
								0.5,				x Î[		2					;				2	]																.

	1+γ								1+γ
	2			1			1		2
1)		∫	2		dx = 1;	2		x		1−γ	= 1,			0.5 ×					γ = 1,						γ = 2,						x Î[-0.5; 1.5 ] .
	1−γ		2			2			2
	2
					+∞				1.5							1			x		2		1.5			1
2)	M ξ = ∫ xp(x)dx =								∫ 0.5xdx =									×							=		( 2.25 - 0.25 ) = 0.5 .
					−∞				−0.5					2					2			−0.5				4
												1.5			0.5x				2		dx - 0.52							1			x	3	1.5			1					1		27			1		1			1
3)		Dξ = M ξ2 -				( M ξ)2 =						∫			0.5x											=		1	×		x				-	1		=			1	(	27		+	1	) -	1	=		1	.
3)		Dξ = M ξ2 -				( M ξ)2 =						∫					1									=			×		3				-			=				(			+	8	) -		=			.
												−0.5					1									2					3		−0.5		4					6				8		8	4			3
												−0.5																				x	−0.5
																																x
4)		Функция распределения F (x)																	равна:						F (x) = ∫ p(x)dx , поэтому
						-0.5			F (x) = 0										.												−∞
	при				x ≤	-0.5			F (x) = 0										.
																		x					1							1				x −0.5			1
	при				-0.5 < x ≤				1.5			F (x) =						∫								dx =						x			=				(x + 0.5 ) .


													с							1.5 + 0.5											2				2
																	−0.5			1.5 + 0.5											2				2


	при				x >	1.5			F (x) =1.
																							1

Скачано																							2.
Скачано
x1,	принадлежит
			интервалу ( -0.5; 1.5],									а			x2		> 1,5.

Ч_2_22_25																					Найти число																									γ			, математическое ожидание Mζ , дисперсию Dζ																																																							ru	,
												функцию распределения, вероятность выполнения неравенства x1																																																		< ζ		<	x2 .
	Получаем:																				∫			γe				− 3 x2				+3 x −								1	dx =						γ					∫ e− 3 x2														+3 x						−				1dx =												γ				∫ e							− 3( x−							2 )		−	4						dx =																		.
													a = −3										,				b	=		3		,			c				= −1						,			x1				=				1					,						x2					=								3					,				p(x)									=			γe − 3 x2								+3 x			−			1 .
																																																								2																								2
																																																									+∞
1)	Число											γ					находим из условия																																										∫ γe − 3 x2 +3 x −1																													dx = 1 .																																															(1)
																																																									−∞																																			antiGTU1
																																																													1												+∞												( x − a )2
			6																	1																				1							6																												∫ e−																																																						1
	Используем формулу																																																																																					2σ 2						dx =								1																																			(2)
																																																																																						2σ 2
																																																									2π ×σ
																																																									2π ×σ																−∞
																				+∞																														+∞																																										+∞														1 2			1
																				−∞																														−∞																																										−∞
																																																							1																														+∞						−3 ( x−								1	)2																													1
																																																							1																																				−3 ( x−									)2																													1
			=							используем (1)																													при						σ =																				= γ e−1/ 4																					∫ e												2					dx = γe−1/ 4 ×																				2π ×										.
			=							используем (1)																													при						σ =																				= γ e−1/ 4																					∫ e												2					dx = γe−1/ 4 ×																				2π ×										.
																																																									6																												−∞																																													6
																																																																																																																																										− 3( x−		1	)2
		Согласно (1) получаем γe−1/ 4 ×																																																																							1																											6					e−1/4 . Тогда p(x) =																											6
																																																											2π ×																						= 1 γ =
																																																																																																																																						e	2 .

																																																																										6																										2π																															2π
																																																																										6																										2π																															2π
									+∞																							1						2								Делаем замену переменной																																																																										+∞
									+∞												6											1						2								Делаем замену переменной																																																																	6									+∞
2) M ζ = ∫ x ×																											e− 3( x−								)				dx =																																																																														=							( ∫ te− 3t 2 dt +
																																	2		)																																				1

																				2π																																			t = x -																							.Тогда dt = dx																																					2π
									−∞											2π																																			t = x -														2									.Тогда dt = dx																																					2π												−∞
																																																																					2
																																																																																				−				t 2
			+∞																												+∞														d ( - 3t														2																+∞													1
		1	+∞																							6					+∞																												2		)							1							+∞										2(			1				)		2
	+			∫ e− 3t2 dt) =																									( ∫ te− 3 t 2 ×																																		+															∫ e																		dt) =
																																																																																									6
																																																	- 6 t
	2		−∞																							2π					−∞																		- 6 t																	2									−∞

			согласно																											6											1			lim e −3t															2							1																				− 3t		2						1															1										1
=			согласно																							=				6						(-					1																		2		+					1					lim e																	2	+					1				×						2π ×					1				) =						1			.
			(2)

																															2π										6 x→+∞																										6 x→−∞																											2															6										2
																																								+∞																																	1																																		делаем замену переменной
																																																				6										− 3				( x−											)2													1																	делаем замену переменной
																																																														− 3				( x−											)2
3) Dζ = M ζ 2 - ( M ζ )2 = ∫ x2 ×																																																											e														2 dx - (																				)2 =																									1																					=

																																																			2π																																																									t = x -																									dt = dx
																																								−∞																																																	2																																				Тогда
																																								−∞																																																	2																													2							Тогда
																																																																																																																						2
	=									+∞				(t + )2 e− 3t																	dt				- =																							+∞									2 e− 3t												2		dt						+∞													2	dt								+∞													dt) - =
										+∞																																																+∞																													+∞																						+∞
												∫																																											( ∫ (t																															+ ∫ t e− 3t																				+ ∫ e− 3 t
																														2																																																																																									2
										−∞										2																				4																																																																				4 −∞																					4
					2π					−∞										2																				4								2π										−∞																													−∞																					4 −∞																					4
														Скачано
	используем результатывычис -																																																																																				+∞
																																																																															6						+∞														2															1																1						1
																																																												= =																			6						( ∫ t2 e− 3 t														2		dt				+1× 0 +									1							×					2π ×				1				) -		1	.
	ления интеграловиз пункта 2

																																																																														2π																																				4																6						4
																																																																									с													−∞																												4																						4
																																																																									с													−∞
Используем метод интегрир вания по частям:																																																									u = t,																du = dt,																			dv = te− 3t2 dt,
								v = ∫te− 3t 2 dt = ∫te− 3t2																																			d (- 3t2 )														= -													1					e− 3 t2 .
								v = ∫te− 3t 2 dt = ∫te− 3t2																																																	= -												6						e− 3 t2 .
																																													- 6 t																								6
																																																														+∞
			6													1			lim te− 3t2																		1			lim te− 3t2																						+∞					1		e− 3t 2 dt																						1															1					1
Dζ =			6								(-					1																+					1																			+ ∫											1																				+				1						2π					×				1		) -			1								=
Dζ =											(-																					+																								+ ∫																															+										2π					×						) -											=
						2π										6 x→+∞																						6 x→−∞																								−∞				6																							4																		6		4
			=						6									1					×					×		1				+						1		×											×	1								) -							1											=		1			.
									6						(			1						2π						1										1						2π								1															1													1
															(									2π																						2π
									2π					6																		6								4																6													4											6
																																																																		1												x
4)			Функция Лапласа есть																																											F(x) =																				1												∫e−t 2 / 2											dt .												Получаем:

																																																																			2π
																																																																			2π									0
																														1.5																	1.5																																	1
			1																		3									1.5																	1.5												6								− 3( x−													1			)2																								1
			1																		3										∫ p(x)dx = ∫																												6								− 3( x−																)2																								1
			P(										<ζ <												) =																																								e															2						dx =								t = (x -														) × 6								=
			P(										<ζ <												) =																																								e																					dx =								t = (x -														) × 6								=
			2																		2									0.5																	0.5										2π																																																		2
			2																		2									0.5																	0.5										2π																																																		2

									6					1								e− t2 / 2
							= ∫							1																	dt = F(															6			) = 0.4927 .

																		2π
									0									2π
При этом значение Ф(
При этом значение Ф(																																6 )									нашли по таблице. Функция Лапласа нечетная: Ф(-x)=-Ф(x).
																																																																																																x															x																	− 3( x−				1	)2
																																																																																																x															x											6										1
																																																														равна: F (x) = ∫ p(x)dx = ∫																																																												6
5)				Функция распределения F (x)																																																																																																																								e				2				dx .

																																																																																																																						2π
																																																																																															−∞															−∞								2π

Ч_2_23_25

Закон Пуассона

P( ζ = k ) =

e-a , a > 0,

k = 0,1, ...

k !

a = 0.65, P( ζ = κ ) =

0.65k

e-0.65 . Найти характеристическую

функцию ϕ(t)

k !

M ζ ,

D ζ .

математическое ожидание

дисперсию

Решение.

Находим характеристическую функцию

antiGTU

-1)

M ζ =.ϕ '(0) .

ϕ '(0) = ai .

D ζ = −ϕ ''( 0 ) +[ ϕ '( 0 )]2 .

Находим вторую производную:

ϕ ''(0) = -a(a +1) .

Скачано

Ч_2_24_25

−

( x−a )2

2δ 2

p(x) = δ

π e

нормальный закон с параметрами Mζ = a , D ζ = b .

Найти характеристическую функцию

ϕ( t ) .

−

( x−4.7)2

a = 4.7,

b =1.9.

Значит,

δ =

Dζ =

b =

1.9 = 1.38 ,

p(x) =

3.8

1.38

Решение.

случайную величину X = ζ − a .

antiGTU

Введем

Тогда MX =

M (ζ - a) = 0,

DX =

M ((ζ - a)2 ) = 1. Величина Х распределена.

δ 2

также по нормальному закону.

Находим характеристическую функцию ϕX (t)

величины

Х:

+∞

−

t 2

∞

( x−it )2

−

t 2

+∞−it

−

t 2

∞

ϕX (t) = M (eiXt ) =

∫ eitx e−

dx =

∫ e−

dx =

∫

e−

dz =

∫ e−

dx =e−

2 .

2π

−∞

−∞−it

−∞

−

Здесь использована аналитичность функции e 2

и теорема Коши. Поскольку

ζ = δ X + a ,

то по свойству характеристической функции

× e−

δ 2t2

ϕ(t) = eita

= e4.7it ×e−0.95t 2 .

Скачано

Ч_2_25_25

Дана плотность распределения

pξ (x)

случайной величины

ξ .

Найти плотность

распределения

pη ( y) ,

математическое ожидание Mη и дисперсию Dη случайной величины

η ,

которая представляет собой площадь круга радиуса

ξ .

pξ (x) =

2(x - a) /(b - a)2 ,

x Î[a; b]

b = 5,

pξ (x) =

(x − 3) / 2,

x [ 3; 5]

x Î[a;

a = 3,

x [3; 5]

Решение.

Площадь

круга равна:

η = πξ2 ,

причем

ξ ³ 0 .

Значит,

функция η

является

монотонно возрастающей.

antiGTU

Поэтому справедлива формула

pη ( y) = pξ [ψ ( y)] ×

ψ '( y)

(1)

где ψ ( y) - функция, обратная функции

y = ϕ(x) .

У нас y = π x

= ϕ(x) при x ³ 0

x =

y / π

=ψ ( y) . Находим производную: ψ '( y) =

. Подставляя в (1), получаем:

π y

p ( y) = p [

]×

(

- 3) =

- 3

. Т. к. 3 ≤ x ≤5, то y Î[9π, 25π] .

2 π y 4

π y

π ) /(4π

4π y

y Î[9π, 25π]

(

y - 3

y ),

pη ( y) =

В итоге

y Î[9π, 25π]

+∞

2 (x - 3)

∫

Согласно формуле

Mη =

(x) × p (x)dx =

π x

dx =

- 3x )dx =

−∞

− x3 )

(136 −98) =19π .

(

+∞

(x - 3)

Dη = ∫[ϕ(x) − Mη]2 pξ (x)dx = ∫ϕ2 (x) pξ (x)dx −[Mη]2 = ∫π 2 x4 ×

dx - (19π)2 =

−∞

π 2

∫(x5

- 3x4 )dx -

361π 2

(

x5 )

- 361π 2

π 2

14896

−

8646

− 361π

5651π 2

−361π 2

236π

=155.28176 .

Скачано

Ч_2_26_25			ru
Случайная величина ξ имеет плотность распределения вероятностей
2(x - a) /(b - a)2	,	x Î[a; b]
pξ (x) =	,	;
0	,	x Î[a; b]

Другая случайная величина η связана с ξ функциональной зависимостью η = 2ξm +1 .

Определить математическое ожидание Mη

и дисперсию

Dη случайной величины η .

(x - 3) / 2 ,

x Î[3; 5]

a = 3, b =5,

m = 4 η = 2ξ

4 +1

antiGTU

pξ (x)

x Î[3; 5]

Решение.

Имеем зависимость

y = 2x4 +1 = ϕ(x),

x Î[3;

5] .

+∞

(x - 3)

Mη =

∫

ϕ(x) × p

(x)dx =

∫

(2x

+1) ×

dx =

∫

(2x

+ x - 6x

- 3)dx =

−∞

= 0.5(

2x6

6x5

- 3x)

= 0.5(4965.3333 +8 −3458.4 −6) = 754.47 .

+∞

- 3)

Dη = ∫ϕ2 (x)pξ (x)dx - (Mη)2

= ∫(2x4 +1)2 ×

dx - 754.472 =

−∞

= 0.5∫(4x9 + 4x5 + x -12x8 -12x4 - 3)dx - 569224.98 =

= 0.5(

4x10

4x6

12x9

12x5

- 3x)

- 569224.98 =

= 0.5(3882630.4 +9930.6666 +8 − 2577922.6 −6916.8 −6) −569224.98 = 84636.82 .

Скачано

2_27_25

Случайная величина ξ

имеет плотность распределения вероятностей

pξ (x) . Найти

плотность распределения вероятностей

pη ( y)

случайной величины η = ϕ (ξ ) .

pξ (x) =

, η = 4ξ + 5 .

π (1+ x2 )

Решение.

Функция y = 4 x +5 = ϕ (x) монотонна на

всей оси, поэтому воспользуемся формулой

p ( y) = p (Y( y)) ×

Y'( y)

antiGTU

(1)

y = ϕ (x) .

где Ψ( y) = x - функция,

обратная

функции

Обратная

функция

равна :

y = 4x + 5 = ϕ (x) x =

y − 5

= Y( y) Y '( y) =

По формуле (1) получаем :

p ( y) =

, - ¥ < y < +¥ .

- 5

π (16

+ ( y - 5)2 )

π ( y2 -10 y + 41)

π ×(1+

(

)

Плотность распределения случайной величины η равна:

pη ( y) =

- ¥ < y < +¥ .

π (16 + ( y - 5)

)

Скачано

Ч_2_28_25

По заданной плотности распределения p1 (x) случайной величины ξ1 определить

функцию распределения случайной величины ξ2 = ϕ(ξ1 ) .Функция ξ2

= ϕ(ξ1 )

задана

графически.

Построить график функции распределения и, используя дельта-функцию, найти

выражение для плотности распределения

p2 ( y) случайной величины

ξ2 .

p1 (x) =

1+ x2

)

(

antiGTU

Решение.

Функция распределения

F2 ( y) случайной величины ξ2

выражается через плотность

распределения p1 (x) случайной величины аргумента ξ1 :

F2 ( y) = ∑

∫ p1(x)dx

(1)

k ( y)

где k ( y) -

интервалы, в которых выполняется неравенство ϕ(x) < y .

Суммирование в

формуле

(1) распространяется на все интервалы.

−1,

ξ1 ≤ −1

Из условий примера следует, что ξ2

= ξ1

, ξ1 [−1;1]

Скачано

Величина

ξ2

, очевидно, принимает значения из интервала [−1;1]

y ≤ −1. Неравенство ϕ (x)< y не вып лняется, поэтому F2 (y )= 0

y = −1. Тогда

−1

P (ξ

= −1) = P (ξ ≤ −1) =

dx =

arctg (x) |

π (1+ x2 )

−∞∫

−∞

(arctg (−1)− lim (arctg

(x)) )=

−

= 0, 25

= p1

x→−∞

−1 > y ≤1 . Тогда

F2 (y )= P (ξ2 < y )= P (ξ2 = −1)+ P (−1 <ξ2 < y )= 0, 25 + P (−1 <ξ1 < y )=

(

π (

(

)

(

))

−∫1 π

(1+ x2 )

)−1

0, 25 +

= 0, 25 +

arctg

= 0, 25 +

arctg

−arctg

−1

0, 25 +

arctg (y )+

arctg

(y )+

0,5

c) y = 1. Тогда

+∞

P (ξ2

= 1) = P (ξ1

> 1) =

∫

dx =

arctg ( x) |

lim

(arctg ( x)) - arctg (1)

π (1+ x

)

x→+∞

= 0, 25 = p2

d) y > 1 . Тогда F2 ( y ) = 1

, т.к. неравенство ϕ ( x) < y выполняется всегда.

Таким образом,

0 , y £ -1

arctg ( y ) + 0,5 , -1 < y £ 1

F2 ( y) =

1 , y > 1

График этой функции приведен на следующем рисунке

Запишем F2 ( y) в виде:

(2)

F2 ( y) = F2 ( y) +∑ pk ×η ( y - yk )

k =1

( y)

- непрерывная функция, yk - точки разрыва функции

F2 ( y) , pk скачки

где F2

функции в точках y

y > 0

( y) - есть дельта-функция

При этом η ( y) =

, где η'( y ) = δ

0 ,

antiGTU

y £ 0

Формула (2) имеет вид :

F2 ( y) = F2 ( y) + 0, 25 ×η ( y +1) + 0, 25 ×η ( y -1)

Где непрерывная часть есть

0 , y £ -1

arctg ( y ) +

F2 ( y) =

-1 < y £ 1

0,5 , y >1

Отсюда по формуле

( y) +

∑ pk

×δ ( y - yk )

(3)

p2 ( y) = p2

k =1

( y)

= F '2 ( y) .

где p2

Находим плотность распределения

( y) + 0, 25 ×δ ( y +1) + 0, 25 ×δ ( y -1)

p2 ( y) = p2

, y

Î[-1;1]

π (1+ y2 )

p2 ( y) =

, y Ï[-1;1]

Скачано

Ч_2_29_25

По заданной плотности распределения

pξ (x1 , x2 )

двумерной случайной величины

поэтому

p (x , x ) =

= 5tg 2η ,

= tg 2η

ηru

< π .

η2 ) ,

(ξ1 ,ξ2 )

найти

плотность распределения

pη ( y1 , y2 )

двумерной случайной величины

(η1 ,

связанной

взаимно –

однозначно с

(ξ1 ,ξ2 )

указанным ниже соотношением:

pξ (x1 , x2 ) =

π 2 (x12 + a2 )(x22 + b2 )

ξ = a ×tg(nη ), ξ = b ×tg(nη ),

;

a = 5, b =1, n = 2 ,

antiGTU

π 2 (x

+ 25)(x

+1)

Решение.

Если

(ξ1 ,ξ2 ) , (η1 ,η2 )

- двумерные случайные величины, такие, что ξ1 = ϕ1 (η1 ,η2 ),

ξ2 = ϕ2 (η1 ,η2 ) ,

то плотность

распределения

pη ( y1 , y2 )

двумерной случайной величины

(η1 ,η2 )

выразится через плотность распределения

pξ (x1 , x2 )

случайной величины

(ξ1 ,ξ2 ) :

¶ϕ1 ¶ϕ1

pη ( y1 , y2 ) = pξ (ϕ1 ( y1 , y2 );

ϕ2 ( y1 , y2 )) ×

где

¶y1

¶y2

¶ϕ2

¶y1

¶y2

У нас

= ϕ = 5tg 2 y , x

= tg 2 y

поэтому

∂ϕ1

= 0,

∂ϕ2

= 0,

∂ϕ2 =

¶y

cos2 2 y

¶y

cos2 2 y

¶y

cos2 2 y1

Якобиан

преобразования

равен

J =

cos2 2 y ×cos2 2 y

cos2 2 y

Отсюда p

( y , y

)

5× 20

< π

< π .

(25tg

2 y1

+ 25)

×(tg

2 y2 +1)

cos

2 y1 ×cos

2 y2

× 25

Скачано

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теория вероятностей и математическая статистика

#
13.06.20146.67 Mб151Теория вероятностей. Чудесенко. 12 вариант..pdf
#
13.06.20147.65 Mб276Теория вероятностей. Чудесенко. 17 Вариант.pdf
#
13.06.2014105.26 Кб280Теория вероятностей. Чудесенко. 18 Вариант.pdf
#
13.06.20141.24 Mб136Теория вероятностей. Чудесенко. 25 Вариант.pdf
#
13.06.2014781.43 Кб192Теория вероятностей. Чудесенко. 3 Вариант.pdf
#
13.06.20146.37 Mб99Теория вероятностей. Чудесенко. 8 Вариант.pdf
#
13.06.20144.15 Mб177Теория вероятностей. Чудесенко. 9 Вариант.pdf