Теория вероятностей. Чудесенко. 25 Вариант

Ч _ 2 _11_ 25

ru

1, 2,..., m

всегосуществует m! размещений.Т.е нам надо найдти вероятность

1 размешения из m! размещений PA

=

1

= 16.66%

.

m!

lim P = lim

1

= 0

m −>∞

A

m−>∞ m!

б) хотя бы1 раз совпадает номер шараи порядковый номер извлечения.

Bk = {к − й шар имеет номер k}

тогда искомая вероятностьесть

m

n

∑ P(Bi Bj ) +

∑ P(B Bj Bk ) − ... + (−1)m+1 P(B1B2 ...Bm ) =

P ∑ Bk = ∑ P(Bi ) −

k =1

i=1

1≤i< j≤m

1≤i< j<k ≤m

= P

− P

+ P

− ... + (−1)n+1 P

1

2

3

m

подсчитаем вероятность Pn (n = 1, 2,..., m), те. . вероятностьпроизведения

событий B1B2 ...Bn . Всего существует

! размещений

1

m

m

(−1)k −1

m

(−1)k −1

Pn =

(n = 1, 2,..., m) PB =

P

∑ Bk

= ∑

=

∑

= 66.67%

n!

k!

k!

k =1

k =1

k =1

m

(−1)

k −1

1

≈ 63.21%antiGTU

lim PB

= lim

∑

= 1 −

k!

e

m −>∞

m−>∞ k =1

в) нет ни одного совпадения номера шараи порядкового номера извлечения

рассмотрим противоположенноесобытие, те. . когда есть хотя бы

с

1 совпадение. А эту вер ятность мы нашди в предыдущем пункте.

P(

) = P(B) P(C) = 1 − P(B) = 33.33%

C

lim P(C) = 1 − lim P(B) = 36.78%

m −>∞

m −>∞

Скачано

Ч _ 2 _13 _ 25

N1

M1

N2

M 2

K

10

3

50

11

7

A = {из второй корзиныизвлекли белый шар}

выдвигаем гипотезы

Hi

(i = 0,.., K ) - из K переложенных шаров i являютсячерными.Тогда

(K - i) являются белыми

ru

Т.о. после перекладывания вовторой корзинеоказалось(N2 + K - i) белых шаров и

.

(M 2 + i) черных. По классическому определениювероятности найдемвероятность

извлечения белого шара из второй урны после перекладывания. P =

N2 + K - i

.

N2

+ M 2 + K

Т.о. P( A / Hi ) =

N2 + K - i

N2

+ M 2 + K

найдем вероятность гипотезы Hi : P(Hi ) =

CNK −i × CMi

1

1

CNK + M

1

1

по формуле полной вероятности искомая вероятность равна

K −i

i

N2 + K

- i

C107−i × C3i

50 + 7 - i

K

K

CN1

× CM1

7

P( A) = ∑ P(H

) × P( A / H

) =

∑

×

= ∑

×

= 81.44%

+ M

+ K

50 +11 +

i =0

i

i

i =0

C K

N

2

2

i=0

C7

7

N + M

1

13

1

antiGTU

Скачано

с

Ч _ 2 _15 _ 25

ru

m1

m2

m3

n1

n2

n3

j

.

20

40

40

90

70

80

1

выдвигаем гипотезы

antiGTU

Hi

- купленноеизделиес i - го завода (i =1,2,3)

изделия равен n P( A / H

) =

ni

i

i

100

поформуле полной вероятности

P( A) = P(H1 ) × P( A / H1 ) + P(H2 ) × P( A / H2 ) + P(H3 ) × P( A / H3 ) =

3

m

n

= ∑

i

×

i

100

100

i=1

поформуле Байеса

P(H j ) × P( A

/ H j

)

m j ×

n j

0.18

P(H j / A) =

=

100

100

=

= 23.07%

P( A)

с

3

m

n

0.78

∑

i

×

i

100

100

i=1

Скачано

Ч _ 2

_16 _ 25

ru

n

m

.

5

6

antiGTU

опыт состоитиз последовательного брасания монеты (n + m) раз

Очевидно, что

1) каждоебросание монетысобытие независемое

1 n−1

1

m

1 10

1

P( A) = Cnn+−m1 −1 ×

×

= C104 ×

, а

P(B) =

2

2

2

2

тк. . события A и B независемы, тоискомая вероятность равна

10

10!

11

Px = P( A) × P(B) = C104

×

1

×

1

=

×

1

=10.25%

4!× 6!

2

2

с

2

Скачано

Ч _ 2 _17 _ 25

ru

p

n

.

0.7

14

antiGTU

тк. . (

(n + 1) p) - дробноечисло, то

для нахождения наиболеевероятногочисла выйгравших билетов,

воспользуемся формулой m0 = [(n + 1) × p] =10

поформуле Бернулли найдемсоответствующую вероятность

P = C m0 × pm0 × qn−m0

= C mo × pm0

× (1 - p)n−m0

= C10 × 0.710 × 0.34 = 22.90%

n

n

14

Скачано

с

Ч

_ 2 _18 _ 25

ru

n

n1

n2

p1

p2

.

14

4

4

0.21

0.39

antiGTU

n3

= n - n1 - n2 = 6

p3

=1 - p1 - p2 =

0.4

P( A) = P (n , n , n ) =

n!

× pn1

× pn2

× pn3 =

14!

× 0.214 × 0.394 × 0.46 = 3.87%

n1!× n2!× n3!

4!× 4!× 6!

n

1

2

3

1

2

3

Скачано

с

Ч

_ 2 _19 _ 25

ru

m

n

p

.

9

600

0.01

antiGTU

тк. . n велико, товоспользуемся приближенной формулой для биномиального

распределения, основанной на формуле Пуассона

P (m) =

(np)m

e−np =

69

e−6

= 6.88%

m!

n

9!

Скачано

с

Ч _ 2 _ 20 _ 25

n

p

k1

k2

.

200

0.4

0

80

antiGTU

= 48 > 9),

т.к. n достаточновелико (n × p × q = n × p × (1 - p) = 200 × 0.4 × 0 6

воспользуемся приближенной формулой, основанной на интегральнойru

теореме

Муавра - Лапласа.

x

=

0 - 200 × 0.4

= -11.547

k - np

k - np

1

200 × 0.4 × 0.6

x =

=

80 - 200 × 0.4

npq

n × p × (1 - p)

x

=

= 0

2

200 × 0.4 × 0.6

Скачано

с