2. Понятие параллелограмма. Свойства параллелограмма.

Определение 1. Четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны, называется параллелограммом.

У каждого параллелограмма четыре вершины, четыре стороны, четыре угла. Две стороны, имеющие общие концы, называются смежными. У каждого параллелограмма две диагонали – отрезки, соединяющие противоположные вершины параллелограмма. Сумма углов параллелограмма равна 360°.

Свойства параллелограмма.

С войство 1. У параллелограмма противоположные стороны равны и противоположные углы попарно равны.

Доказательство: Проведем диагональ АС. АС – общая;

ВАС = АСD (внутренние накрест лежащие при АВ II BC и секущей АС);

ВСА = САD (внутренние накрест лежащие при АD II BC и секущей АС);

 АВС = АDС (по 2 признаку).

АВ = CD; BC = AD; В = D.

А = ВАС + СAD; С = АСB + АСD;  А = С.

Свойство 2. У параллелограмма углы, прилежащие к одной стороне, в сумме дают 180°.

Доказательство:

В + А =180° (внутренние односторонние при ВС II AD и секущей АB).

B + С =180° (внутренние односторонние при AВ II CD и секущей BC).

D + C =180° (внутренние односторонние при ВС II AD и секущей CD).

A + D =180° (внутренние односторонние при AВ II CD и секущей AD).

Свойство 3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Д оказательство: Проведем диагонали АС и BD, пересекающиеся в точке О.

АВ = СD (по первому св-ву параллелограмма);

AВO = ODC (внутренние накрест лежащие при АВ II CD и секущей BD);

ВАO = OСD (внутренние накрест лежащие при АB II CD и секущей АС);

 АВO = ODС (по 2 признаку).

ВO = OD; AO = OC.

3. Признаки параллелограмма.

Признак 1. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Д ано: ABCD – четырехугольник; АD II BC,

АD = BC.

Доказать: АВСD – параллелограмм.

Доказательство: Проведем диагональ АС. АС – общая;

ВС = АD (по условию);

ВСА = САD (внутренние накрест лежащие при АD II BC и секущей АС);

 АВС = АDС (по 1 признаку).

ВAC = ACD (внутренние накрест лежащие)  АВ II СD.

АВСD – параллелограмм.

Признак 2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Д ано: ABCD – четырехугольник; АВ = СD,

АD = BC.

Доказать: АВСD – параллелограмм.

Доказательство: Проведем диагональ АС. АС – общая;

ВС = АD (по условию);

АВ = СD (по условию);

 АВС = АDС (по 3 признаку).

ВСА = САD (внутренние накрест лежащие)  АD II BC;

ВAC = ACD (внутренние накрест лежащие)  АВ II СD.

АВСD – параллелограмм.

Признак 3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Д ано: ABCD – четырехугольник;

АС∩ВD = {О}; BO = OD; AO = OC.

Доказать: АВСD – параллелограмм.

Доказательство:

ВO = OD (по условию);

АO = OС (по условию);

AOВ = СOD (вертикальные);

 АОВ = DОС (по 1 признаку).

ОВА = СDО (внутренние накрест лежащие)  АВ II СD;

ВO = OD (по условию);

АO = OС (по условию);

СOВ = АOD (вертикальные);

 СОВ = DОА (по 1 признаку).

ВCО = ОAD (внутренние накрест лежащие)  АD II BC.

АВСD – параллелограмм.