Примеры решения типовых задач по разделу «Механика»

Задачи на определение скорости и ускорения поступательного движения

Задача № 1

Изменение положения материальной точки со временем описывается уравнением X = - 0,8 t³ + 0,2 t⁴ – 5t – 7 + t². Определить законы зависимости скорости и ускорения точки от времени, найти механическое состояние ее в начальный момент времени и через секунду от начала движения, установить характер движения в эти моменты времени.

Дано: X = - 0,8 t3 + 0,2 t4 – 5t – 7 + t2 Найти: 1) V=V(t);a=a(t) 2) t0=0 X0=? V0=? A0=? 3) t1=1 X1=? V1=? A1=?

Решение

1. Определение скорости и ускорения:

;

;

; ;

2. Механическое состояние точки:

t₀=0

В начальный момент времени точка движется против оси Х замедленно. Движение началось из точки с координатой -7м.

t=1с

.

Через секунду точка продолжает движение против оси Х, но уже ускоренно. Движение в этот момент началось из точки с координатой -11,6 м.

Задача № 2.

Даны уравнения движения двух тел: Х₁ = 6 t² + 3 – 8t и Х₂ = 8t – 2. Используя уравнения движения каждого тела определить: вид движения каждого тела; начальные координаты, величину и направление начальной скорости; сделать чертеж вдоль оси ОХ; определить модуль и направление ускорения; найти место и время встречи тел; построить графики для каждого тела.

Решение: I II
1. Закон изменения со временем скорости и ускорения тел:
X1 =6 t2 +3 – 8 t	X2= 8t - 2
V1x= 12 t – 8	V2x= 8
a1x= 12	a2x= 0
2. Механическое состояние тел в начальный момент времени t0=0:
X01= +3 м	X02= - 2 м
V01x= - 8 м /с	V2x= +8 м /с
a1x= + 12 м/ с2	ax= 0
Движение равнозамедленное против оси из точки с координатой +3 м	Движение равномерное в сторону оси из точки с координатой – 2 м

3. Чертеж вдоль оси Х:

4. Найти место и время встречи.

В момент встречи Х_в = Х ₁ = Х₂ при t₁= t₂ = t_{встречи}

6 t²+ 3 – 8t = 8t – 2

6 t²–16t +5 = 0

;

t_{1вствречи}=0,4c и t_{2вствречи}=2,3c

и

1. Построение графиков

1. Графики для тела 2, движущегося равномерно прямолинейно.

X₂= 8t - 2 ; V_2x= +8 м /с; a_x= 0; S_x=8t; L=8t

2. Графики для тела 1, движущегося прямолинейно равнозамедленно: X_{1 =}6 t² +3 – 8 t; V_1x= 12 t – 8; a_x= 12 м/с ; S_x= -8t+6t²

Правила построения графика координаты равнопеременного движения (параболы)

1. Найти на координатной оси начальную координату – точку начала параболы

(в нашем примере = + 3)

2. Определить направление ветвей параболы (если a_x > 0 – ветви вверх, а если а_x< 0 – вниз.

3. Найти ось симметрии параболы – вертикаль, проходящая через точку, в которой скорость равна нулю.

4. Подсчитать дискриминант уравнения ах² + вх + с = 0 (в нашем случае аt² + вt + с = 0). D = в² - 4 ас. Если D > 0 - парабола пересекает горизонтальную ось времени в двух точках, если D = 0, парабола касается этой оси, а если D < 0 точки пересечения параболы отсутствуют.

В нашем примере 6t² - 8t + 3 = 0 , , точек пересечения параболы с горизонтальной осью нет.